Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?
- 1
Посчитаем общее число концов проводов у всех столбов:$$10 \cdot 4 = 40$$
- 2
Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте концов каждый провод учтён дважды:$$40 : 2 = 20$$
Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 33. Найдите площадь…
- 1
Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. Для прямоугольника, разделённого двумя разрезами, произведения площадей противоположных частей равны.$$12 \cdot 33 = 18x$$
- 2
Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{12 \cdot 33}{18} = 22$$
В доме, в котором живёт Женя, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Женя живёт в квартире № 35. В каком подъезде живёт Женя?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
- 2
В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 25. Квартира № 35 находится в следующем подъезде.$$25 < 35 \leq 50$$
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную; за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную. У Николая были только…
- 1
Пусть $x$ — число операций, в которых за 2 золотые монеты получают 3 серебряные и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 5 серебряных монет получают 3 золотые и одну медную.
- 2
Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому $x+y=50$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Пусть число подъездов равно $a$, число квартир на этаже — $b$, а число этажей в подъезде — $c$. Тогда$$abc = 357, \quad 1 < a < b < c$$
- 2
Разложим общее число квартир на простые множители:$$357 = 3 \cdot 7 \cdot 17$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Обозначим число подъездов через $e$, число этажей в одном подъезде через $f$, а число квартир на этаже через $a$. Общее число квартир равно произведению этих величин:$$efa = 110$$
- 2
Разложим число 110 на простые множители:$$110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Люда, 5 этажей и несколько подъездов. В каждом подъезде на каждом этаже находится по 3 квартиры. Люда живёт в квартире № 59. В каком подъезде живёт Люда?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде: на каждом из 5 этажей по 3 квартиры.$$5 \cdot 3 = 15$$
- 2
Первые три подъезда занимают квартиры с номерами от 1 до 45. Квартира № 59 находится после них, в четвёртом подъезде.$$45 < 59 \leq 60$$
Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…
- 1
Пусть скорость Маши при еде равна $v$, а общее время еды — $T$. Обозначим через $t$ время, в течение которого Маша ела варенье. Тогда Медведь ел варенье $T-t$ времени со скоростью $3v$.$$vt=3v(T-t)$$
- 2
Сокращаем $v$ и находим продолжительность каждого этапа.$$t=3(T-t),\quad 4t=3T,\quad t=\frac{3T}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 191, во втором — 176, в третьем — 184, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам чисел в столбцах:$$191 + 176 + 184 = 551$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 25 и меньшее 28. Значит, сумма каждой строки равна 26 или 27.
Ещё 2 шага — в полном решении
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: оранжевая, белая и синяя. Слева от синей вазы 15 роз, справа от белой вазы 11 роз. Всего в вазах 23 розы. Сколько роз в оранжевой вазе?
- 1
Синяя ваза стоит правее оранжевой и белой, а белая — левее оранжевой и синей. Поэтому порядок ваз слева направо: белая, оранжевая, синяя.
- 2
Пусть в оранжевой вазе $x$ роз. Тогда в белой вазе $15 - x$ роз, а в синей вазе $11 - x$ роз.
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме всего десять квартир, их номера от 1 до 10. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 8-ю включительно живёт суммарно 10 человек, а в квартирах с…
- 1
Обозначим число жильцов в квартирах 7–8 через $x$. В первых шести квартирах живёт не менее 6 человек, а всего в квартирах 1–8 живёт 10 человек, поэтому $x \leq 4$.$$x \leq 10 - 6 = 4$$
- 2
В квартирах 9–10 может жить не более 6 человек. Так как в квартирах 7–10 всего 10 человек, получаем $x \geq 4$.$$x \geq 10 - 6 = 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В корзине лежит 34 гриба: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 20 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
- 1
Если бы груздей было не менее 20, можно было бы выбрать 20 груздей, среди которых нет рыжика. Поэтому груздей не больше 19.$$G \leq 19$$
- 2
Если бы рыжиков было не менее 16, можно было бы выбрать 16 рыжиков, среди которых нет груздя. Поэтому рыжиков не больше 15.$$R \leq 15$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Клетки таблицы $5 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 17 пар соседних клеток разного цвета и 9 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
В каждой из пяти строк есть четыре пары соседних клеток по горизонтали, а в каждом из пяти столбцов — четыре пары по вертикали.$$5 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 40$$
- 2
Всего в таблице 40 пар соседних клеток. Из них 17 пар состоят из клеток разного цвета, а 9 пар — из чёрных клеток.$$40 - 17 - 9 = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В корзине лежат 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 27 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
- 1
Пусть рыжиков $r$, тогда груздей $50-r$.
- 2
Из условия о любых 27 грибах следует, что груздей не может быть 27 или больше: иначе можно было бы выбрать 27 груздей без рыжиков.$$50-r\leqslant26$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 498, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…
- 1
Из цифр 4, 9 и 8 составляем перестановки. Наименьшее число, большее 498, — 849, поэтому номер первой страницы после выпавших листов равен 849.$$p=849$$
- 2
Выпавшие страницы имеют номера от 499 до 848 включительно. Их количество равно:$$849-498-1=350$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В доме, в котором живёт Яна, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Яна живёт в квартире № 53. В каком подъезде живёт Яна?
- 1
Определим количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 3 = 27$$
- 2
Первый подъезд включает квартиры с номерами от 1 до 27, второй — от 28 до 54. Квартира № 53 находится во втором подъезде.
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: белая, синяя и красная. Слева от красной вазы 15 роз, справа от синей вазы 12 роз. Всего в вазах 22 розы. Сколько роз в белой вазе?
- 1
Пусть в белой вазе $x$ роз. Тогда количество роз в синей и красной вазах обозначим соответственно через $b$ и $r$.
- 2
По условию розы в синей и белой вазах составляют 15 роз, а розы в белой и красной вазах — 12 роз.$$b+x=15,\quad x+r=12$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…
- 1
Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно 6, 7 или 8.
- 2
Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=340$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную; за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную. У Николая были только…
- 1
Пусть $x$ — число операций, в которых за 3 золотые монеты получают 4 серебряные и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 6 серебряных монет получают 4 золотые и одну медную.$$x+y=35$$
- 2
Так как золотых монет сначала не было и в конце их тоже не появилось, количество выданных золотых монет должно равняться количеству затраченных.$$4y=3x$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 7, 11 и 13. Найдите периметр…
- 1
Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$.
- 2
Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$. Поэтому сумма периметров прямоугольников на одной диагонали равна сумме периметров прямоугольников на другой диагонали.$$P_{\text{лев. верх.}} + P_{\text{прав. ниж.}} = P_{\text{прав. верх.}} + P_{\text{лев. ниж.}}$$
Ещё 2 шага — в полном решении