Базалық математика ЕГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Натуральное число и параметры

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно только $6$, $7$ или $8$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=164$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Распил досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 10 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   При каждом распиле количество кусков увеличивается на один. Поэтому число досок плюс число распилов равно числу получившихся кусков.$$x + 10 = 17$$
2. 2
   Находим число досок:$$x = 17 - 10 = 7$$

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Пусть $x$ — число этажей в доме, $y$ — число квартир на этаже, $z$ — число подъездов. Тогда общее число квартир равно произведению этих величин:$$xyz = 165$$
2. 2
   Разложим число $165$ на простые множители:$$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины левой и правой частей прямоугольника через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
2. 2
   Для трёх известных прямоугольников запишем полупериметры:$$a+c=\frac{24}{2}=12,\quad b+c=\frac{28}{2}=14,\quad b+d=\frac{16}{2}=8$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Оплата копки колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию: первый член равен 4200 рублей, разность равна 1300 рублей, количество членов равно 11.$$a_1 = 4200,\quad d = 1300,\quad n = 11$$
2. 2
   Найдём общую сумму оплаты по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии.$$S_{11} = \dfrac{11}{2}\bigl(2 \cdot 4200 + (11-1) \cdot 1300\bigr)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Іздеу загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как каждое из чисел $A$, $B$ и $C$ больше 6, но меньше 10, каждое из них принимает одно из значений $7$, $8$, $9$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. Тогда по условию$$Ax+B-C=429$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4000 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию: первый член равен 4000 рублей, разность равна 1600 рублей, число членов равно 7.$$a_1=4000,\quad d=1600,\quad n=7$$
2. 2
   Найдём стоимость последнего, седьмого метра.$$a_7=a_1+6d=4000+6\cdot1600=13600$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Распил досок и количество кусков

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 5 поперечных распилов, в итоге получилось 23 куска. Сколько досок взяли?

1. 1
   Пусть взяли $x$ досок. До распиливания было $x$ заготовок.
2. 2
   Каждый распил увеличивает число кусков на один, поэтому после 5 распилов получится $x + 5$ кусков.$$x + 5 = 23$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: чёрная, зелёная и оранжевая. Слева от чёрной вазы 32 розы, справа от оранжевой вазы 9 роз. Всего в вазах 37 роз. Сколько роз в зелёной вазе?

1. 1
   При сложении количества роз слева от чёрной вазы и справа от оранжевой вазы розы в зелёной вазе учитываются дважды.$$32 + 9 = 37 + x$$
2. 2
   Находим количество роз в зелёной вазе:$$x = 32 + 9 - 37 = 4$$

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: жёлтая, зелёная и красная. Слева от зелёной вазы 21 роза, справа от жёлтой вазы 31 роза. Всего в вазах 40 роз. Сколько роз в красной вазе?

1. 1
   При сложении количества роз слева от зелёной вазы и справа от жёлтой вазы розы в красной вазе учитываются дважды, а все остальные розы — один раз.$$21 + 31 = 40 + x$$
2. 2
   Найдём количество роз в красной вазе:$$x = 21 + 31 - 40 = 12$$

Количество рыжиков в корзине

В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

1. 1
   Среди любых 17 грибов должен быть хотя бы один рыжик. Поэтому груздей не может быть 17 или больше: иначе можно было бы выбрать 17 груздей.$$N_{\text{груздей}} \leq 16$$
2. 2
   Следовательно, рыжиков не меньше 24.$$N_{\text{рыжиков}} \geq 40 - 16 = 24$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое семи различных натуральных чисел равно 12. Среднее арифметическое этих чисел и восьмого числа равно 13. Чему равно восьмое число?

1. 1
   Сумма семи чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_7 = 7 \cdot 12 = 84$$
2. 2
   Сумма всех сегіз чисел равна:$$S_8 = 8 \cdot 13 = 104$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию, где $a_1=3500$, $d=1600$, $n=9$.$$a_n=a_1+(n-1)d$$
2. 2
   Найдём стоимость девятого метра:$$a_9=3500+(9-1)\cdot1600=16300$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Распил досок и количество кусков

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 13 поперечных распилов, в итоге получилось 18 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   При каждом распиле число кусков увеличивается на один. Поэтому после 13 распилов число кусков на 13 больше числа досок.$$18 = x + 13$$
2. 2
   Найдём число досок:$$x = 18 - 13 = 5$$

Обмен монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 3 золотые монеты получить 4 серебряные и одну медную; за 7 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, в которых за 3 золотые монеты получают 4 серебряные и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 7 серебряных монет получают 4 золотые и одну медную.
2. 2
   Всего появилось 42 медные монеты, значит, обменный пункт посещали $42$ раза.$$x+y=42$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $7 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 7 строк имеется 4 пары соседних клеток по горизонтали, поэтому горизонтальных пар $7 \cdot 4 = 28$.$$7 \cdot (5-1)=28$$
2. 2
   В каждом из 5 столбцов имеется 6 пар соседних клеток по вертикали, поэтому вертикальных пар $5 \cdot 6 = 30$.$$5 \cdot (7-1)=30$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем количество концов проводов, отходящих от всех столбов:$$10 \cdot 6 = 60$$
2. 2
   Каждый провод имеет два конца, поэтому при подсчёте по столбам каждый провод учтён дважды:$$60 : 2 = 30$$

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $4 \times 8$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 22 пары соседних клеток разного цвета и 19 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 4 строк имеется 7 горизонтальных пар соседних клеток, поэтому горизонтальных пар $4 \cdot 7 = 28$.
2. 2
   В каждом из 8 столбцов имеется 3 вертикальные пары соседних клеток, поэтому вертикальных пар $8 \cdot 3 = 24$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 3 большие фишки, отдав 10 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 65…

1. 1
   За один обмен количество фишек уменьшается на разность между отданными и полученными фишками.$$10 - 3 = 7$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 35.$$100 - 65 = 35$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площади частей прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 7, 14 и 22. Найдите площадь…

1. 1
   Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. При разбиении прямоугольника двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных частей равны.$$S_1S_3=S_2S_4$$
2. 2
   Подставим известные площади: площадь левого верхнего прямоугольника равна $7$, правого верхнего — $14$, правого нижнего — $22$.$$7\cdot22=14x$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде