Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Оплата копки колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4100 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 4100 рублей и разностью 1700 рублей.$$a_1 = 4100,\quad d = 1700,\quad n = 7$$
2. 2
   Найдём стоимость седьмого метра.$$a_7 = a_1 + (7-1)d = 4100 + 6 \cdot 1700 = 14300$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество рыжиков в корзине

В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

1. 1
   Если бы груздей было не менее 11, можно было бы выбрать 11 груздей без рыжика. Поэтому груздей не более 10, а рыжиков не менее$$25 - 10 = 15$$
2. 2
   Если бы рыжиков было не менее 16, можно было бы выбрать 16 рыжиков без груздя. Поэтому рыжиков не более 15.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 151, во втором — 134, в третьем — 143, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$151 + 134 + 143 = 428$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 22 и меньшее 25. Поэтому сумма каждой строки равна 23 или 24.

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 70 км, между А и В — 55 км, между В и Г — 45 км, между Г и А — 40 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Точки на кольцевой дороге можно расположить в порядке А — Г — В — Б — А. Тогда известные расстояния соответствуют последовательным дугам: $АГ = 40$ км, $ГВ = 45$ км и $БА = 70$ км.
2. 2
   Так как расстояние между А и В по кратчайшей дуге равно 55 км, длина кольцевой дороги составляет $40 + 45 + 55 + 70 - 40 = 170$ км, а недостающая дуга между Б и В равна разности.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём суммарное число участий стран в договорах:$$7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 = 42$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$42 : 2 = 21$$

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 27 и 33. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь левого нижнего прямоугольника равна $x$. Для разбиения прямоугольника двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных частей равны.$$18 \cdot 33 = 27x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{18 \cdot 33}{27} = 22$$

Распилы по линиям разных цветов

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 13 кусков, если по жёлтым — 14 кусков, а если по зелёным — 15 кусков. Сколько…

1. 1
   Число линий каждого цвета на одну меньше числа получающихся кусков.$$13-1=12,\quad 14-1=13,\quad 15-1=14$$
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$12+13+14=39$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество исходных досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 8 поперечных распилов, в итоге получился 21 кусок. Сколько досок взяли?

1. 1
   Если сделать один распил, число кусков увеличится на один. Поэтому после 8 распилов число кусков на 8 больше числа исходных досок.$$x + 8 = 21$$
2. 2
   Находим число досок:$$x = 21 - 8 = 13$$

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 12 и 20. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Для четырёх прямоугольников, полученных двумя разрезами, произведения площадей противоположных частей равны.$$18 \cdot 20 = 12 \cdot x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь и вычислим её.$$x = \dfrac{18 \cdot 20}{12} = 30$$

Квартира и подъезд

В доме, в котором живёт Катя, 17 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Катя живёт в квартире № 78. В каком подъезде живёт Катя?

1. 1
   Определим количество квартир в одном подъезде:$$17 \cdot 3 = 51$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 51. Квартира № 78 относится ко второму подъезду, так как $51 < 78 \leq 102$.$$2 \cdot 51 = 102$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Сложим количество договоров, заключённых каждой страной:$$4 \cdot 4 + 6 \cdot 3 = 16 + 18 = 34$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$34 : 2 = 17$$

Распил досок на куски

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 25 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Изначально каждая доска является одним куском. Каждый распил увеличивает число кусков на один.$$x + 11 = 25$$
2. 2
   Найдём количество досок:$$x = 25 - 11 = 14$$

Дружба мальчиков и девочек

В классе 24 ученика. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с двумя мальчиками. Сколько мальчиков учится в этом классе?

1. 1
   Пусть в классе $x$ мальчиков. Тогда девочек $24-x$.
2. 2
   Посчитаем количество пар дружбы между мальчиками и девочками двумя способами. По условию каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, поэтому таких пар $4x$. Каждая девочка дружит с двумя мальчиками, поэтому таких пар $2(24-x)$.$$4x = 2(24-x)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $6 \times 4$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 19 пар соседних клеток разного цвета и 15 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 6 строк есть по $4-1=3$ горизонтальные пары соседних клеток. Всего горизонтальных пар:$$6 \cdot 3 = 18$$
2. 2
   В каждом из 4 столбцов есть по $6-1=5$ вертикальных пар соседних клеток. Всего вертикальных пар:$$4 \cdot 5 = 20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Семь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими семью столбами?

1. 1
   Суммарное количество проводов, отходящих от столбов, равно:$$7 \cdot 6 = 42$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте он учтён дважды. Делим полученную сумму на 2:$$\frac{42}{2} = 21$$

Обмен маленьких фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдавая 10 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек, а после стало 64. Сколько обменов он совершил?

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 10 фишек и получает 4 фишки, поэтому общее количество фишек уменьшается на 6.$$10 - 4 = 6$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 36.$$100 - 64 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 20, 12 и 11. Найдите периметр…

1. 1
   При разбивке большого прямоугольника двумя прямолинейными разрезами общие стороны внутренних прямоугольников попарно компенсируются. Поэтому суммы периметров прямоугольников на противоположных позициях равны.$$P_{\text{лев. верх.}} + P_{\text{прав. ниж.}} = P_{\text{прав. верх.}} + P_{\text{лев. ниж.}}$$
2. 2
   Обозначим периметр четвёртого прямоугольника через $P$ и подставим известные значения.$$20 + 11 = 12 + P$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Прыжки кузнечика по прямой

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 10 прыжков координата может находиться от $-10$ до $10$.
2. 2
   Так как число прыжков чётное, конечная координата должна быть чётной: $-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? Во…

1. 1
   Пусть на одном этаже каждого подъезда находится $n$ квартир. Тогда в одном подъезде $12n$ квартир.$$12n$$
2. 2
   Квартира № 468 находится в восьмом подъезде, поэтому номера квартир в первых семи подъездах меньше 468, а номер 468 не превышает количество квартир в первых восьми подъездах.$$7 \cdot 12n < 468 \leq 8 \cdot 12n$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую ячейку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 49, во втором — 97, в третьем — 146, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице:$$49+97+146=292$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 18 и меньшее 21, поэтому она равна 19 или 20.

Ещё 2 шага — в полном решении