Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(3^{-3})^2}{3^{-10}}$.

1. 1
   Преобразуем степень степени:$$(3^{-3})^2=3^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{3^{-6}}{3^{-10}}=3^{-6-(-10)}=3^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степень с логарифмом

Найдите значение выражения $5^{1+\log_5 2}$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в сумму показателей:$$5^{1+\log_5 2}=5^1\cdot 5^{\log_5 2}$$
2. 2
   По определению логарифма $5^{\log_5 2}=2$.$$5^1\cdot 5^{\log_5 2}=5\cdot 2=10$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{5^5}{5^4 \cdot 5^{-1}}$.

1. 1
   Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:$$5^4 \cdot 5^{-1} = 5^{4+(-1)} = 5^3$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{5^5}{5^3} = 5^{5-3} = 5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{5^8 \cdot 2^{11}}{10^7}$.

1. 1
   Разложим знаменатель на множители 2 и 5:$$10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{5^8 \cdot 2^{11}}{2^7 \cdot 5^7} = 5^{8-7} \cdot 2^{11-7} = 5 \cdot 2^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^2$.

1. 1
   Вычислим значения степеней:$$5^3 = 125, \quad 5^2 = 25$$
2. 2
   Подставим найденные значения в выражение:$$2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 125 + 3 \cdot 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Преобразование выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{27}-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Представим число $27$ как произведение $9\cdot3$ и упростим корень:$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и раскроем скобки:$$(3\sqrt{3}-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=2\cdot3=6$$

Упрощение радикального выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{4\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Объединим корни в один:$$\dfrac{4\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{\dfrac{98}{2}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и корень:$$4\sqrt{\dfrac{98}{2}} = 4\sqrt{49} = 4 \cdot 7 = 28$$

Значение логарифма

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{4}} 8$.

1. 1
   Упростим основание логарифма:$$\sqrt{4}=2$$
2. 2
   Представим аргумент как степень основания:$$8=2^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 48 - \log_2 3$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$$
2. 2
   Объединим данные логарифмы:$$\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \frac{48}{3} = \log_2 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степени

Найдите значение выражения $\dfrac{(2^{-3})^2}{2^{-8}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе:$$(2^{-3})^2 = 2^{-6}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием, вычитая показатели:$$\dfrac{2^{-6}}{2^{-8}} = 2^{-6-(-8)} = 2^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение показательного выражения

Найдите значение выражения $6^{5\log_6 3}$.

1. 1
   Преобразуем показатель степени по свойству $k\log_a b=\log_a b^k$.$$5\log_6 3=\log_6 3^5$$
2. 2
   Применяем основное свойство логарифма.$$6^{5\log_6 3}=6^{\log_6 3^5}=3^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{2{,}4}{2{,}9 - 1{,}4}$.

1. 1
   Сначала вычислим разность в знаменателе дроби.$$2{,}9 - 1{,}4 = 1{,}5$$
2. 2
   Разделим числитель на полученный знаменатель.$$\dfrac{2{,}4}{1{,}5} = 1{,}6$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{2^2 \cdot 3^4}$.

1. 1
   Представим подкоренное выражение как квадрат произведения:$$2^2 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3^2)^2$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{(2 \cdot 3^2)^2}=2 \cdot 3^2=2 \cdot 9=18$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{6}0{,}8 + \log_{6}45$.

1. 1
   Объединим логарифмы с одинаковым основанием по свойству суммы логарифмов.$$\log_{6}0{,}8 + \log_{6}45 = \log_{6}(0{,}8 \cdot 45)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов.$$0{,}8 \cdot 45 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Деление степеней десяти

Найдите значение выражения $\left(5{,}1 \cdot 10^3\right) : \left(1{,}7 \cdot 10^{-3}\right)$.

1. 1
   Разделим коэффициенты и степени десяти:$$\frac{5{,}1 \cdot 10^3}{1{,}7 \cdot 10^{-3}} = \frac{5{,}1}{1{,}7} \cdot 10^{3-(-3)}$$
2. 2
   Вычислим частное коэффициентов и показатель степени:$$\frac{5{,}1}{1{,}7} \cdot 10^6 = 3 \cdot 10^6 = 3000000$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{11}-\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения подкоренных выражений и вычислим.$$(\sqrt{11}-\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})=(\sqrt{11})^2-(\sqrt{5})^2=11-5=6$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{14^9}{2^7 \cdot 7^8}$.

1. 1
   Разложим число $14$ на простые множители и возведём произведение в девятую степень.$$14^9=(2\cdot7)^9=2^9\cdot7^9$$
2. 2
   Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим степени.$$\dfrac{14^9}{2^7\cdot7^8}=\dfrac{2^9\cdot7^9}{2^7\cdot7^8}=2^{9-7}\cdot7^{9-8}=2^2\cdot7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(6\frac{1}{2}-0{,}9\right):\frac{1}{10}$.

1. 1
   Преобразуем смешанное число в десятичную дробь и вычислим значение в скобках.$$6\frac{1}{2}=6{,}5,\qquad 6{,}5-0{,}9=5{,}6$$
2. 2
   Деление на дробь $\frac{1}{10}$ заменяем умножением на 10.$$5{,}6:\frac{1}{10}=5{,}6\cdot10=56$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{0{,}8}{1 + \dfrac{1}{4}}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель дроби.$$1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$$
2. 2
   Разделим $0{,}8$ на полученное значение.$$\dfrac{0{,}8}{1{,}25} = 0{,}64$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_{3}\left(\log_{5}125\right)$.

1. 1
   Представим число $125$ в виде степени основания логарифма:$$125 = 5^3$$
2. 2
   Вычислим внутренний логарифм:$$\log_{5}125 = \log_{5}5^3 = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении