Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(6\sqrt{15}+5)(6\sqrt{15}-5)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=6\sqrt{15}$ и $b=5$:$$(6\sqrt{15}+5)(6\sqrt{15}-5)=(6\sqrt{15})^2-5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $4{,}8 : 1{,}2 \cdot 1{,}3$.

1. 1
   Сначала выполним деление:$$4{,}8 : 1{,}2 = 4$$
2. 2
   Умножим полученный результат на $1{,}3$:$$4 \cdot 1{,}3 = 5{,}2$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{17}-3)(\sqrt{17}+3)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$(\sqrt{17}-3)(\sqrt{17}+3)=(\sqrt{17})^2-3^2=17-9=8$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{17} - \sqrt{2})(\sqrt{17} + \sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.
2. 2
   Подставим значения под корнями и вычислим:

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_5(11^6)}{2\log_5 11}$.

1. 1
   Применим свойство логарифма степени к числителю.$$\log_5(11^6)=6\log_5 11$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим ненулевой множитель $\log_5 11$.$$\dfrac{\log_5(11^6)}{2\log_5 11}=\dfrac{6\log_5 11}{2\log_5 11}=3$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{6 \cdot 7}}{\sqrt{2 \cdot 21}}$.

1. 1
   Вычислим произведение в числителе и знаменателе:$$6 \cdot 7 = 42, \qquad 2 \cdot 21 = 42$$
2. 2
   Подставим найденные значения в выражение:$$\dfrac{\sqrt{6 \cdot 7}}{\sqrt{2 \cdot 21}} = \dfrac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}} = 1$$

Упростить выражение с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}=\sqrt{2\cdot32}=\sqrt{64}=8$$
2. 2
   Подставим полученное значение в исходное выражение:$$\dfrac{3}{2}\cdot 8=12$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(0{,}1)^2}{10^{-3}} \cdot 10^2$.

1. 1
   Представим десятичную дробь в виде степени десяти:$$0{,}1 = 10^{-1}$$
2. 2
   Возведём степень в степень:$$(0{,}1)^2 = (10^{-1})^2 = 10^{-2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(6^{-3})^2}{6^{-8}}$.

1. 1
   Возведём степень в степень:$$(6^{-3})^2 = 6^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{6^{-6}}{6^{-8}} = 6^{-6-(-8)} = 6^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $6^{-3} \cdot \dfrac{6^6}{6^2}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются.$$6^{-3} \cdot \dfrac{6^6}{6^2}=6^{-3+6-2}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени и значение полученной степени.$$6^{-3+6-2}=6^1=6$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_5(11^{15})}{3\log_5 11}$.

1. 1
   Применим свойство логарифма степени к числителю:$$\log_5(11^{15})=15\log_5 11$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим ненулевой множитель $\log_5 11$:$$\dfrac{\log_5(11^{15})}{3\log_5 11}=\dfrac{15\log_5 11}{3\log_5 11}=5$$

Произведение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{10}\cdot\sqrt{3{,}6}$.

1. 1
   Применим свойство произведения арифметических корней.$$\sqrt{10}\cdot\sqrt{3{,}6}=\sqrt{10\cdot3{,}6}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{10\cdot3{,}6}=\sqrt{36}=6$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(4^{-4})^2}{4^{-10}}$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(4^{-4})^2=4^{-8}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{4^{-8}}{4^{-10}}=4^{-8-(-10)}=4^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степень с логарифмом

Найдите значение выражения $3^{1+\log_3 5}$.

1. 1
   Разложим степень суммы показателей на произведение степеней:$$3^{1+\log_3 5}=3^1\cdot 3^{\log_3 5}$$
2. 2
   По определению логарифма $3^{\log_3 5}=5$, поэтому:$$3\cdot 5=15$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{5^{-10} \cdot 5^5}{5^{-9}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{5^{-10} \cdot 5^5}{5^{-9}} = 5^{-10+5-(-9)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени.$$-10+5-(-9)=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_3(\log_3 27)$.

1. 1
   Вычислим внутренний логарифм, представив $27$ как степень числа $3.$$27 = 3^3,\quad \log_3 27 = 3$$
2. 2
   Подставим полученное значение во внешний логарифм.$$\log_3(\log_3 27) = \log_3 3 = 1$$

Деление смешанных дробей

Найдите значение выражения $30{,}71 : \left(9\frac{1}{5} - \frac{9}{10}\right)$.

1. 1
   Преобразуем смешанное число и дробь в десятичные дроби:$$9\frac{1}{5}=9{,}2,\quad \frac{9}{10}=0{,}9$$
2. 2
   Вычислим значение выражения в скобках:$$9{,}2-0{,}9=8{,}3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{20}}{8\sqrt{5}}$.

1. 1
   Разложим подкоренное выражение $20$ на множители:$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим общий множитель $\sqrt{5}$:$$\dfrac{\sqrt{20}}{8\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{8\sqrt{5}}=\dfrac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(5 \cdot 10^5) \cdot (1{,}7 \cdot 10^{-3})$.

1. 1
   Сгруппируем множители: числа и степени десяти.$$(5 \cdot 1{,}7) \cdot (10^5 \cdot 10^{-3})$$
2. 2
   Перемножим числа и сложим показатели степеней.$$8{,}5 \cdot 10^{5+(-3)} = 8{,}5 \cdot 10^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{6^2 \cdot 5^0}$.

1. 1
   Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице:$$5^0 = 1$$
2. 2
   Подставляем это значение в выражение:$$\sqrt{6^2 \cdot 5^0} = \sqrt{6^2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$