Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{9^8}{3^9} : 27^2$.

1. 1
   Представим числа $9$ и $27$ как степени числа $3$.$$9 = 3^2, \quad 27 = 3^3$$
2. 2
   Преобразуем числитель и делитель, используя свойство степени степени.$$\dfrac{9^8}{3^9} : 27^2 = \dfrac{(3^2)^8}{3^9} : (3^3)^2 = \dfrac{3^{16}}{3^9} : 3^6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{17}-2\sqrt{3})(\sqrt{17}+2\sqrt{3})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим.$$(\sqrt{17}-2\sqrt{3})(\sqrt{17}+2\sqrt{3})=(\sqrt{17})^2-(2\sqrt{3})^2=17-12=5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $3^{-4} \cdot \dfrac{3^3}{3^{-3}}$.

1. 1
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{3^3}{3^{-3}} = 3^{3-(-3)} = 3^6$$
2. 2
   Перемножим степени с одинаковым основанием:$$3^{-4} \cdot 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $6^2 + \log_6 5$.

1. 1
   Преобразуем данное логарифмическое выражение, используя свойства степеней и логарифмов.$$6^2 + \log_6 5 = 180$$
2. 2
   Следовательно, значение выражения равно 180.

Упрощение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{3^4 \cdot 5^5}{15^4}$.

1. 1
   Разложим число $15$ на множители и применим свойство степени произведения:$$15^4 = (3 \cdot 5)^4 = 3^4 \cdot 5^4$$
2. 2
   Подставим это выражение в знаменатель и сократим одинаковые множители:$$\dfrac{3^4 \cdot 5^5}{3^4 \cdot 5^4} = 5^{5-4} = 5$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $7^{2\log_7 3}$.

1. 1
   Преобразуем показатель степени:$$7^{2\log_7 3}=(7^{\log_7 3})^2$$
2. 2
   По свойству $a^{\log_a b}=b$ получаем:$$(7^{\log_7 3})^2=3^2=9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $3 \cdot (-1)^4 + 5 \cdot (-1)^6$.

1. 1
   Обе степени числа $-1$ имеют чётные показатели, поэтому их значения равны $1$.$$(-1)^4 = 1, \quad (-1)^6 = 1$$
2. 2
   Подставляем значения степеней в выражение:$$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 8$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{2{,}7 \cdot 10^2}{9 \cdot 10^{-2}}$.

1. 1
   Разделим коэффициенты и применим правило деления степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{2{,}7 \cdot 10^2}{9 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{2{,}7}{9} \cdot 10^{2-(-2)}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение.$$0{,}3 \cdot 10^4 = 3000$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{7}{20} - 5{,}05 - \dfrac{7}{2}$.

1. 1
   Представим обыкновенные дроби в виде десятичных:$$\dfrac{7}{20}=0{,}35,\quad \dfrac{7}{2}=3{,}5$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение:$$0{,}35-5{,}05-3{,}5=-8{,}2$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{4}12{,}8 + \log_{4}5$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_4 12{,}8 + \log_4 5 = \log_4(12{,}8 \cdot 5)$$
2. 2
   Вычислим произведение и представим его как степень числа 4:$$12{,}8 \cdot 5 = 64 = 4^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{2} 0{,}2 + \log_{2} 20$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_{2} 0{,}2 + \log_{2} 20 = \log_{2}(0{,}2 \cdot 20)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов:$$0{,}2 \cdot 20 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{12}}{64^3}$.

1. 1
   Представим число $64$ как степень числа $4$:$$64 = 4^3$$
2. 2
   Преобразуем знаменатель:$$64^3 = (4^3)^3 = 4^9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $7^{-3} \cdot \dfrac{7^4}{7^{-1}}$.

1. 1
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{7^4}{7^{-1}}=7^{4-(-1)}=7^5$$
2. 2
   Перемножим степени с одинаковым основанием:$$7^{-3}\cdot 7^5=7^{-3+5}=7^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}2 \cdot 10^2}{4 \cdot 10^{-2}}$.

1. 1
   Разделим числовые коэффициенты и степени десяти:$$\dfrac{1{,}2 \cdot 10^2}{4 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{1{,}2}{4} \cdot 10^{2-(-2)}$$
2. 2
   Вычислим значение полученного выражения:$$0{,}3 \cdot 10^4 = 3000$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-7}\cdot 3^2}{3^{-9}}$.

1. 1
   Объединим степени с основанием $3$, складывая показатели при умножении и вычитая показатель знаменателя при делении.$$\dfrac{3^{-7}\cdot 3^2}{3^{-9}}=3^{-7+2-(-9)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени.$$-7+2-(-9)=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{2} 0{,}2 + \log_{2} 80$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковыми основаниями:$$\log_{2} 0{,}2 + \log_{2} 80 = \log_{2}(0{,}2 \cdot 80)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и значение логарифма:$$\log_{2}(0{,}2 \cdot 80) = \log_{2}16 = 4$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 640 - \log_2 5$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_2 640 - \log_2 5 = \log_2\left(\frac{640}{5}\right)$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень двойки:$$\log_2\left(\frac{640}{5}\right)=\log_2 128=\log_2 2^7=7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(9^{-4})^2}{9^{-10}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе:$$(9^{-4})^2=9^{-8}$$
2. 2
   Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{9^{-8}}{9^{-10}}=9^{-8-(-10)}=9^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(2 \cdot 10^3) \cdot (3{,}1 \cdot 10^{-4})$.

1. 1
   Перемножим коэффициенты и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием.$$(2 \cdot 10^3) \cdot (3{,}1 \cdot 10^{-4}) = (2 \cdot 3{,}1) \cdot 10^{3 + (-4)}$$
2. 2
   Выполним вычисления и переведём результат в десятичную дробь.$$6{,}2 \cdot 10^{-1} = 0{,}62$$

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{40}\cdot\sqrt{1{,}6}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень.$$\sqrt{40}\cdot\sqrt{1{,}6}=\sqrt{40\cdot1{,}6}$$
2. 2
   Вычислим произведение подкоренных выражений.$$40\cdot1{,}6=64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении