Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{6} \cdot \sqrt{13{,}5}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень.$$\sqrt{6}\cdot\sqrt{13{,}5}=\sqrt{6\cdot13{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{6\cdot13{,}5}=\sqrt{81}=9$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{6}{(2\sqrt{3})^2}$.

1. 1
   Упростим квадрат знаменателя:$$(2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=4\cdot3=12$$
2. 2
   Подставим полученное значение:$$\dfrac{6}{12}=0.5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-9}\cdot 3^3}{3^{-10}}$.

1. 1
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении вычитаются.$$3^{-9}\cdot 3^3\div 3^{-10}=3^{-9+3-(-10)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени.$$-9+3-(-10)=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление степени с целым показателем

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{-6} \cdot 4^3}{4^{-7}}$.

1. 1
   Применяем свойства степеней с одинаковым основанием и объединяем показатели.$$\dfrac{4^{-6} \cdot 4^3}{4^{-7}} = 4^{-6+3-(-7)}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени и значение выражения.$$4^{-6+3+7} = 4^4 = 256$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^3}{2^3}:4^2$.

1. 1
   Представим числа $8$ и $4$ как степени двойки:$$8=2^3,\quad 4=2^2$$
2. 2
   Применим свойства степеней и выполним деление:$$\dfrac{8^3}{2^3}:4^2=\dfrac{(2^3)^3}{2^3}:(2^2)^2=2^{9-3-4}=2^2=4$$

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{11 \cdot 35}}{\sqrt{7 \cdot 55}}$.

1. 1
   Объединим дробь с корнями в один корень.$$\dfrac{\sqrt{11 \cdot 35}}{\sqrt{7 \cdot 55}} = \sqrt{\dfrac{11 \cdot 35}{7 \cdot 55}}$$
2. 2
   Разложим произведения и сократим множители.$$\sqrt{\dfrac{11 \cdot 35}{7 \cdot 55}} = \sqrt{\dfrac{11 \cdot 5 \cdot 7}{7 \cdot 5 \cdot 11}} = \sqrt{1} = 1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $6 \cdot (-1)^6 + 2 \cdot (-1)^3$.

1. 1
   Показатель степени $6$ чётный, поэтому $(-1)^6 = 1$. Показатель степени $3$ нечётный, поэтому $(-1)^3 = -1$.$$(-1)^6 = 1, \quad (-1)^3 = -1$$
2. 2
   Подставим найденные значения в выражение.$$6 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 6 - 2 = 4$$

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $39 \cdot 10 - 1{,}5 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим значение степени и произведений:$$10^2 = 100, \quad 39 \cdot 10 = 390, \quad 1{,}5 \cdot 100 = 150$$
2. 2
   Вычтем второе произведение из первого:$$390 - 150 = 240$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{18^{22}}{3^{24}\cdot 6^{20}}$.

1. 1
   Представим число $18$ в виде произведения $3\cdot 6$ и раскроем степень произведения.$$18^{22}=(3\cdot6)^{22}=3^{22}\cdot6^{22}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим степени.$$\dfrac{18^{22}}{3^{24}\cdot6^{20}}=\dfrac{3^{22}\cdot6^{22}}{3^{24}\cdot6^{20}}=\dfrac{6^2}{3^2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(5 \cdot 10^{-3}) \cdot (1{,}8 \cdot 10^2)$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и степени десяти:$$(5 \cdot 10^{-3}) \cdot (1{,}8 \cdot 10^2) = (5 \cdot 1{,}8) \cdot 10^{-3+2}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$9 \cdot 10^{-1} = 0{,}9$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{7} 0{,}5 + \log_{7} 98$.

1. 1
   Применяем свойство суммы логарифмов с одинаковыми основаниями:$$\log_{7} 0{,}5 + \log_{7} 98 = \log_{7}(0{,}5 \cdot 98)$$
2. 2
   Вычисляем произведение под знаком логарифма:$$0{,}5 \cdot 98 = 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $3 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^{-1}$.

1. 1
   Вычислим значения степеней десяти:$$10^1 = 10, \quad 10^2 = 100, \quad 10^{-1} = 0{,}1$$
2. 2
   Подставим значения в выражение:$$3 \cdot 10 + 8 \cdot 100 + 2 \cdot 0{,}1 = 30 + 800 + 0{,}2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(4 \cdot 10^{-6}) \cdot (1{,}4 \cdot 10^5)$.

1. 1
   Перемножим коэффициенты и объединим степени десяти:$$(4 \cdot 10^{-6}) \cdot (1{,}4 \cdot 10^5) = (4 \cdot 1{,}4) \cdot 10^{-6+5}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение:$$5{,}6 \cdot 10^{-1} = 0{,}56$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{2{,}6}{3{,}1 - 0{,}6}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель дроби:$$3{,}1 - 0{,}6 = 2{,}5$$
2. 2
   Разделим числитель на найденный знаменатель:$$\dfrac{2{,}6}{2{,}5} = 1{,}04$$

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(5 \cdot 10^{-5}) \cdot (1{,}1 \cdot 10^2)$.

1. 1
   Перемножим коэффициенты:$$5 \cdot 1{,}1 = 5{,}5$$
2. 2
   При умножении степеней десяти показатели складываются:$$10^{-5} \cdot 10^2 = 10^{-5+2} = 10^{-3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить выражение с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{4\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Разложим число $75$ на множители и вынесем полный квадрат из-под знака корня.$$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим одинаковые множители.$$\dfrac{4\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\cdot5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=20$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $7^{4\log_7 5}$.

1. 1
   Преобразуем выражение, используя свойство степени:$$7^{4\log_7 5}=(7^{\log_7 5})^4$$
2. 2
   Так как $7^{\log_7 5}=5$, получаем:$$5^4=625$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\left(5{,}2 \cdot 10^2\right) : \left(1{,}3 \cdot 10^{-2}\right)$.

1. 1
   Разделим числовые множители и степени десяти:$$\dfrac{5{,}2 \cdot 10^2}{1{,}3 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{5{,}2}{1{,}3} \cdot 10^{2-(-2)}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$4 \cdot 10^4 = 40000$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{(4\sqrt{3})^2}{30}$.

1. 1
   Возводим произведение в квадрат:$$(4\sqrt{3})^2=4^2\cdot(\sqrt{3})^2$$
2. 2
   Упрощаем числитель:$$4^2\cdot(\sqrt{3})^2=16\cdot3=48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{4}320-\log_{4}5$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_{4}320-\log_{4}5=\log_{4}\left(\frac{320}{5}\right)$$
2. 2
   Вычислим частное и представим число 64 как степень основания 4.$$\log_{4}64=\log_{4}(4^3)=3$$