Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Степени числа 10

Найдите значение выражения $\dfrac{(0{,}01)^3}{10^{-5}} \cdot 10^4$.

1. 1
   Представим десятичную дробь $0{,}01$ как степень числа $10$.$$0{,}01 = 10^{-2}$$
2. 2
   Возведём степень в третью степень.$$(10^{-2})^3 = 10^{-6}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Значение степени с дробью

Найдите значение выражения $\dfrac{81^3}{9^4}$.

1. 1
   Представим числа $81$ и $9$ как степени числа $3$.$$81 = 3^4,\quad 9 = 3^2$$
2. 2
   Преобразуем числитель и знаменатель дроби.$$81^3 = (3^4)^3 = 3^{12},\quad 9^4 = (3^2)^4 = 3^8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(8^{-4})^2}{8^{-10}}$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(8^{-4})^2 = 8^{-8}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{8^{-8}}{8^{-10}} = 8^{-8-(-10)} = 8^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(1\frac{2}{3}+\frac{3}{8}\right)\cdot 24$.

1. 1
   Представим смешанное число в виде неправильной дроби.$$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$$
2. 2
   Приведём дроби к общему знаменателю и сложим их.$$\frac{5}{3}+\frac{3}{8}=\frac{40}{24}+\frac{9}{24}=\frac{49}{24}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_7(4^6)}{3\log_7 4}$.

1. 1
   Преобразуем логарифм степени по формуле логарифма степени:$$\log_7(4^6)=6\log_7 4$$
2. 2
   Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим общий множитель:$$\dfrac{\log_7(4^6)}{3\log_7 4}=\dfrac{6\log_7 4}{3\log_7 4}=2$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{0{,}9}{1 + \dfrac{1}{8}}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель выражения.$$1 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8}$$
2. 2
   Разделим $0{,}9$ на полученную дробь.$$\dfrac{0{,}9}{\frac{9}{8}} = 0{,}9 \cdot \dfrac{8}{9} = 0{,}8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4{,}5 \cdot 10^2}{9 \cdot 10^{-2}}$.

1. 1
   Разделим числовые коэффициенты и степени десяти:$$\dfrac{4{,}5 \cdot 10^2}{9 \cdot 10^{-2}}=\dfrac{4{,}5}{9}\cdot\dfrac{10^2}{10^{-2}}$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{4{,}5}{9}\cdot 10^{2-(-2)}=0{,}5\cdot 10^4=5000$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{5^2 \cdot 2^2}$.

1. 1
   Объединим множители под корнем в квадрат произведения:$$\sqrt{5^2 \cdot 2^2}=\sqrt{(5\cdot2)^2}$$
2. 2
   Так как $5\cdot2=10$, получаем:$$\sqrt{10^2}=10$$

Значение выражения со степенями десяти

Найдите значение выражения $6 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1$.

1. 1
   Вычислим значения степеней десяти:$$10^{-1}=0{,}1,\quad 10^2=100,\quad 10^1=10$$
2. 2
   Подставим значения в выражение:$$6 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 = 0{,}6 + 300 + 50$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{45}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}$.

1. 1
   Упростим первый корень:$$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение:$$(\sqrt{45}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}=(3\sqrt{5}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(2 \cdot 10^{-1}) \cdot (1{,}4 \cdot 10^3)$.

1. 1
   Сгруппируем числовые множители и степени десяти.$$(2 \cdot 10^{-1}) \cdot (1{,}4 \cdot 10^3) = (2 \cdot 1{,}4) \cdot (10^{-1} \cdot 10^3)$$
2. 2
   Применим свойство произведения степеней с одинаковым основанием.$$2{,}8 \cdot 10^{-1+3} = 2{,}8 \cdot 10^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{3\cdot\sqrt{5\cdot 6}}{\sqrt{2\cdot 15}}$.

1. 1
   Вычислим произведения под знаками корней:$$5\cdot 6=30,\qquad 2\cdot 15=30$$
2. 2
   Подставим полученные значения и сократим ненулевой множитель $\sqrt{30}$:$$\dfrac{3\cdot\sqrt{30}}{\sqrt{30}}=3$$

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{252}}{2\sqrt{7}}$.

1. 1
   Разложим число под корнем на множители:$$252 = 36 \cdot 7$$
2. 2
   Вынесем квадратный множитель из-под корня:$$\sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями десяти

Найдите значение выражения $2{,}3 \cdot 10^{-1} + 2{,}7 \cdot 10^{-2}$.

1. 1
   Вычислим первое слагаемое:$$2{,}3 \cdot 10^{-1}=2{,}3 \cdot 0{,}1=0{,}23$$
2. 2
   Вычислим второе слагаемое:$$2{,}7 \cdot 10^{-2}=2{,}7 \cdot 0{,}01=0{,}027$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение дроби с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{648}}{\sqrt{8}}$.

1. 1
   Объединим числитель и знаменатель под одним корнем:$$\dfrac{\sqrt{648}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{648}{8}}$$
2. 2
   Вычислим частное подкоренных выражений:$$\sqrt{\dfrac{648}{8}} = \sqrt{81}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-13}}{(3^5)^{-3}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в знаменателе по правилу степени степени.$$(3^5)^{-3} = 3^{5 \cdot (-3)} = 3^{-15}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием: показатели вычитаются.$$\dfrac{3^{-13}}{3^{-15}} = 3^{-13-(-15)} = 3^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{6}-3\sqrt{2})(\sqrt{6}+3\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению суммы и разности:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим квадраты:$$(\sqrt{6}-3\sqrt{2})(\sqrt{6}+3\sqrt{2})=(\sqrt{6})^2-(3\sqrt{2})^2=6-18=-12$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Преобразуем частное корней в корень из частного.$$\dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{54}{6}}$$
2. 2
   Вычисляем значение подкоренного выражения и корень.$$\sqrt{\dfrac{54}{6}} = \sqrt{9} = 3$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}4 \cdot 10^3}{7 \cdot 10^{-1}}$.

1. 1
   Вычислим числитель и знаменатель выражения:$$1{,}4 \cdot 10^3 = 1400, \qquad 7 \cdot 10^{-1} = 7 \cdot 0{,}1 = 0{,}7$$
2. 2
   Разделим полученные значения:$$\dfrac{1400}{0{,}7} = 2000$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1)^6$.

1. 1
   Показатели степеней чётные, поэтому обе степени числа $-1$ равны $1$.$$(-1)^2 = 1, \quad (-1)^6 = 1$$
2. 2
   Подставим найденные значения в выражение.$$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$$