Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $6 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1)^5$.

1. 1
   Вычислим степени числа $-1$: для чётной степени получаем $1$, для нечётной — $-1$.$$(-1)^2=1,\quad (-1)^5=-1$$
2. 2
   Подставим найденные значения в выражение.$$6 \cdot 1 + 4 \cdot (-1)=6-4=2$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $3^{2\log_3 7}$.

1. 1
   Применим свойство степени с логарифмом по тому же основанию:$$a^{k\log_a b}=b^k$$
2. 2
   Подставим значения $a=3$, $k=2$, $b=7$:$$3^{2\log_3 7}=7^2=49$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $2\frac{2}{5} : \left(\frac{9}{10} - 1\frac{5}{14}\right)$.

1. 1
   Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:$$2\frac{2}{5}=\frac{12}{5},\quad 1\frac{5}{14}=\frac{19}{14}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения в скобках:$$\frac{9}{10}-\frac{19}{14}=\frac{63-95}{70}=-\frac{32}{70}=-\frac{16}{35}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $3\dfrac{2}{9} + (-11) + 4\dfrac{7}{9}$.

1. 1
   Сгруппируем смешанные числа и сложим их целые и дробные части.$$3\dfrac{2}{9}+4\dfrac{7}{9}=7+\dfrac{9}{9}=8$$
2. 2
   Прибавим отрицательное число.$$8+(-11)=8-11=-3$$

Произведение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{10}\cdot\sqrt{2{,}5}$.

1. 1
   Применим свойство произведения арифметических корней:$$\sqrt{10}\cdot\sqrt{2{,}5}=\sqrt{10\cdot2{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{10\cdot2{,}5}=\sqrt{25}=5$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{17}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{17}+\sqrt{5}\right)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения подкоренных выражений и вычислим.$$\left(\sqrt{17}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{17}+\sqrt{5}\right)=17-5=12$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 96 - \log_2 3$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$$
2. 2
   Упростим выражение.$$\log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{96}{3} = \log_2 32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$.

1. 1
   Применим свойство произведения арифметических корней:$$\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения:$$\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $8 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^1$.

1. 1
   Представим степени десяти в виде десятичных дробей:$$10^{-2}=0{,}01,\quad 10^{-1}=0{,}1,\quad 10^1=10$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим слагаемые:$$8 \cdot 0{,}01 + 7 \cdot 0{,}1 + 6 \cdot 10 = 0{,}08 + 0{,}7 + 60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями десяти

Найдите значение выражения $4{,}6 \cdot 10^3 + 2{,}4 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим значения степеней десяти:$$10^3 = 1000, \quad 10^2 = 100$$
2. 2
   Подставим их в выражение и выполним умножение:$$4{,}6 \cdot 1000 + 2{,}4 \cdot 100 = 4600 + 240$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{7}{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{54}$.

1. 1
   Объединим корни в один:$$\sqrt{6}\cdot\sqrt{54}=\sqrt{6\cdot54}=\sqrt{324}=18$$
2. 2
   Подставим полученное значение и вычислим выражение:$$\dfrac{7}{3}\cdot18=7\cdot6=42$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(0{,}1)^2 \cdot 10^4 \cdot 3^2$.

1. 1
   Вычислим значения степеней:$$(0{,}1)^2 = 0{,}01,\quad 10^4 = 10000,\quad 3^2 = 9$$
2. 2
   Подставим полученные значения и выполним умножение:$$0{,}01 \cdot 10000 \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{8}{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{80}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{5}\cdot\sqrt{80}=\sqrt{5\cdot80}=\sqrt{400}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$\dfrac{8}{5}\cdot\sqrt{400}=\dfrac{8}{5}\cdot20=32$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\sqrt{3{,}6}\cdot\sqrt{10}$.

1. 1
   Объединим произведение корней под одним знаком корня.$$\sqrt{3{,}6}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{3{,}6\cdot10}$$
2. 2
   Вычислим произведение подкоренных выражений и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{3{,}6\cdot10}=\sqrt{36}=6$$

Упрощение выражения со степенями

Найдите значение выражения $4^{-5}\cdot\dfrac{4^2}{4^{-4}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$4^{-5}\cdot\dfrac{4^2}{4^{-4}}=4^{-5+2-(-4)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени:$$-5+2-(-4)=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{4} 1{,}6 + \log_{4} 40$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковыми основаниями:$$\log_{4} 1{,}6 + \log_{4} 40 = \log_{4}(1{,}6 \cdot 40)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и представим результат как степень числа $4$:$$1{,}6 \cdot 40 = 64 = 4^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{7}-3\sqrt{2})(\sqrt{7}+3\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{7}$ и $b=3\sqrt{2}$:$$(\sqrt{7})^2-(3\sqrt{2})^2=7-9\cdot2=7-18=-11$$

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$.

1. 1
   Объединим произведение корней в один корень.$$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и найдём квадратный корень.$$\sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{0{,}6 \cdot 10^2}{3 \cdot 10^{-2}}$.

1. 1
   Вычислим степени десяти:$$10^2 = 100, \quad 10^{-2} = 0{,}01$$
2. 2
   Подставим значения в выражение:$$\dfrac{0{,}6 \cdot 100}{3 \cdot 0{,}01} = \dfrac{60}{0{,}03}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{486}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Применим свойство частного квадратных корней.$$\dfrac{\sqrt{486}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{486}{6}}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем.$$\sqrt{\dfrac{486}{6}} = \sqrt{81} = 9$$