Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 54 - \log_3 2$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \frac{54}{2}$$
2. 2
   Выполним деление и представим результат в виде степени числа $3$:$$\log_3 \frac{54}{2} = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{32}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Упростим первый корень:$$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и раскроем скобки:$$(\sqrt{32}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=(4\sqrt{2}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{10}\cdot\sqrt{1{,}6}$.

1. 1
   Применим свойство произведения квадратных корней:$$\sqrt{10}\cdot\sqrt{1{,}6}=\sqrt{10\cdot1{,}6}$$
2. 2
   Вычислим произведение подкоренных выражений:$$10\cdot1{,}6=16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{6\sqrt{96}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Преобразуем отношение квадратных корней:$$\dfrac{\sqrt{96}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{96}{6}} = \sqrt{16} = 4$$
2. 2
   Умножаем полученное значение на 6:$$6 \cdot 4 = 24$$

Значение показательно-логарифмического выражения

Найдите значение выражения $2^{\log_2 17} - 2$.

1. 1
   Используем основное свойство логарифма и степени при одинаковом основании:$$a^{\log_a b} = b$$
2. 2
   Применяем это свойство к выражению:$$2^{\log_2 17} - 2 = 17 - 2 = 15$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{7^{-3}}{(7^2)^{-2}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в знаменателе по правилу возведения степени в степень:$$(7^2)^{-2} = 7^{2 \cdot (-2)} = 7^{-4}$$
2. 2
   Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{7^{-3}}{7^{-4}} = 7^{-3-(-4)} = 7^1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логарифм с корнем в основании

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{2}}(2^2)$.

1. 1
   Представим основание логарифма в виде степени числа $2$:$$\sqrt{2}=2^{1/2}$$
2. 2
   Запишем аргумент как степень основания:$$2^2=(2^{1/2})^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{28} \cdot \sqrt{7}$.

1. 1
   Применим свойство произведения арифметических квадратных корней.$$\sqrt{28} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{28 \cdot 7}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и корень.$$\sqrt{28 \cdot 7} = \sqrt{196} = 14$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $5^{2\log_5 6}$.

1. 1
   Преобразуем степень с показателем, содержащим логарифм:$$5^{2\log_5 6}=\left(5^{\log_5 6}\right)^2$$
2. 2
   По определению логарифма $5^{\log_5 6}=6$, поэтому:$$6^2=36$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{2}64 - \log_{2}4$.

1. 1
   Представим числа под знаками логарифмов как степени основания $2$.$$64 = 2^6,\quad 4 = 2^2$$
2. 2
   Используем определение логарифма и вычислим разность.$$\log_{2}64 - \log_{2}4 = 6 - 2 = 4$$

Логарифм степени числа

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{5}}(5^6)$.

1. 1
   Представим основание логарифма в виде степени числа $5$:$$\sqrt{5}=5^{1/2}$$
2. 2
   Применим свойство логарифма степени:$$\log_{5^{1/2}}(5^6)=\frac{6}{1/2}=12$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^8}{2^{13}}$.

1. 1
   Представим число $4$ как степень числа $2$:$$4^8 = (2^2)^8 = 2^{16}$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{4^8}{2^{13}} = \dfrac{2^{16}}{2^{13}} = 2^{16-13} = 2^3 = 8$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{(6\sqrt{5})^2}{24}$.

1. 1
   Возведём числитель в квадрат:$$(6\sqrt{5})^2=6^2\cdot(\sqrt{5})^2=36\cdot5=180$$
2. 2
   Разделим полученное значение на 24:$$\dfrac{180}{24}=7{,}5$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения подкоренных выражений и вычислим.$$(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})=11-2=9$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 112 - \log_2 7$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_2 112 - \log_2 7 = \log_2 \frac{112}{7}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень двойки.$$\log_2 \frac{112}{7} = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$$

Степень с логарифмом

Найдите значение выражения $2^{1+\log_2 3}$.

1. 1
   Преобразуем степень суммы в произведение степеней.$$2^{1+\log_2 3}=2^1\cdot 2^{\log_2 3}$$
2. 2
   По свойству степени и логарифма $a^{\log_a b}=b$ получаем:$$2^1\cdot 2^{\log_2 3}=2\cdot 3=6$$

Значение выражения с дробями

Найдите значение выражения $\left(3\frac{3}{7}-1{,}6\right):\frac{1}{35}$.

1. 1
   Преобразуем смешанное число и десятичную дробь:$$3\frac{3}{7}=\frac{24}{7},\qquad 1{,}6=\frac{8}{5}$$
2. 2
   Выполним вычитание дробей:$$\frac{24}{7}-\frac{8}{5}=\frac{120-56}{35}=\frac{64}{35}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Свойство логарифма в степени

Найдите значение выражения $7^{1+\log_7 6}$.

1. 1
   Применим правило преобразования степени с суммой показателей.$$7^{1+\log_7 6}=7^1\cdot 7^{\log_7 6}$$
2. 2
   По определению логарифма $7^{\log_7 6}=6$.$$7^1\cdot 7^{\log_7 6}=7\cdot 6=42$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(2^{-3})^2}{2^{-10}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе по правилу возведения степени в степень.$$(2^{-3})^2 = 2^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{2^{-6}}{2^{-10}} = 2^{-6-(-10)} = 2^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{3}{2}\sqrt{72}\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней под одним знаком корня.$$\sqrt{72}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{72\cdot 2}=\sqrt{144}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$\dfrac{3}{2}\sqrt{144}=\dfrac{3}{2}\cdot 12=18$$