ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Дәрежелер, түбірлер, логарифмдер» — жауаптарымен

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $9 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим значения степеней он и произведений:$$9 \cdot 10^{-1} = 0{,}9, \quad 6 \cdot 10^1 = 60, \quad 5 \cdot 10^2 = 500$$
2. 2
   Сложим полученные слагаемые:$$0{,}9 + 60 + 500 = 560{,}9$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{22}-1\right)\left(\sqrt{22}+1\right)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{22}$ и $b=1$.$$\left(\sqrt{22}-1\right)\left(\sqrt{22}+1\right)=\left(\sqrt{22}\right)^2-1^2=22-1=21$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $4 \cdot 10^{-3} + 8 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-1}$.

1. 1
   Заменим степени он с отрицательными показателями соответствующими десятичными дробями.$$10^{-3}=0{,}001,\quad 10^{-2}=0{,}01,\quad 10^{-1}=0{,}1$$
2. 2
   Подставим значения и выполним умножение.$$4 \cdot 0{,}001 + 8 \cdot 0{,}01 + 7 \cdot 0{,}1 = 0{,}004 + 0{,}08 + 0{,}7$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Логарифм с корнем в основании

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{13}} 13$.

1. 1
   Представим основание логарифма в виде степени числа $13$:$$\sqrt{13}=13^{\frac{1}{2}}$$
2. 2
   Число под знаком логарифма представим как $13^1$ и применим формулу логарифма степени:$$\log_{13^{\frac{1}{2}}}13^1=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(5^{-3})^2}{5^{-9}}$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(5^{-3})^2 = 5^{-6}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием, вычитая показатели:$$\dfrac{5^{-6}}{5^{-9}} = 5^{-6-(-9)} = 5^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{7} 4{,}9 + \log_{7} 70$.

1. 1
   Объединим сумму логарифмов с одинаковым основанием в один логарифм:$$\log_{7} 4{,}9 + \log_{7} 70 = \log_{7}(4{,}9 \cdot 70)$$
2. 2
   Вычислим произведение под логарифмом:$$4{,}9 \cdot 70 = 343 = 7^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{21^6}{3^4 \cdot 7^5}$.

1. 1
   Разложим число $21$ на простые множители и представим его шестую степень:$$21^6 = (3 \cdot 7)^6 = 3^6 \cdot 7^6$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{3^6 \cdot 7^6}{3^4 \cdot 7^5} = 3^{6-4} \cdot 7^{6-5} = 3^2 \cdot 7$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сложение чисел в стандартном виде

Найдите значение выражения $7{,}6 \cdot 10^{-2} + 8{,}4 \cdot 10^{-1}$.

1. 1
   Переведём первое слагаемое в десятичную дробь:$$7{,}6 \cdot 10^{-2}=0{,}076$$
2. 2
   Переведём второе слагаемое в десятичную дробь:$$8{,}4 \cdot 10^{-1}=0{,}84$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^7}{2^7} : 2^3$.

1. 1
   Преобразуем дробь, используя одинаковые показатели степеней:$$\dfrac{4^7}{2^7} = \left(\dfrac{4}{2}\right)^7 = 2^7$$
2. 2
   Выполним деление степеней с одинаковым основанием:$$2^7 : 2^3 = 2^{7-3} = 2^4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{5}$ и $b=2\sqrt{3}$.$$(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(2\sqrt{3})^2=5-12=-7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{13}}{64^3}$.

1. 1
   Представим число $64$ в виде степени числа $4$:$$64 = 4^3$$
2. 2
   Преобразуем знаменатель и разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{4^{13}}{64^3} = \dfrac{4^{13}}{(4^3)^3} = \dfrac{4^{13}}{4^9} = 4^{13-9}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{18}{(3\sqrt{5})^2}$.

1. 1
   Раскроем квадрат произведения в знаменателе.$$(3\sqrt{5})^2=3^2\cdot(\sqrt{5})^2$$
2. 2
   Вычислим значение знаменателя.$$3^2\cdot(\sqrt{5})^2=9\cdot5=45$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}6 \cdot 10^2}{4 \cdot 10^{-2}}$.

1. 1
   Разделим числовые множители и степени он:$$\dfrac{1{,}6 \cdot 10^2}{4 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{1{,}6}{4} \cdot 10^{2-(-2)}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение:$$0{,}4 \cdot 10^4 = 4000$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $3\dfrac{8}{15} - 0{,}2 \cdot 2\dfrac{2}{3}$.

1. 1
   Преобразуем смешанные числа и десятичную дробь:$$3\dfrac{8}{15}=\dfrac{53}{15},\quad 0{,}2=\dfrac{1}{5},\quad 2\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}$$
2. 2
   Выполним умножение:$$0{,}2\cdot 2\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{8}{3}=\dfrac{8}{15}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вычисление значения степени

Найдите значение выражения $\dfrac{8^{13}}{64^6}$.

1. 1
   Представим число $64$ как степень числа $8$:$$64 = 8^2$$
2. 2
   Преобразуем знаменатель и разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{8^{13}}{64^6} = \dfrac{8^{13}}{(8^2)^6} = \dfrac{8^{13}}{8^{12}} = 8^{13-12} = 8$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(1\frac{5}{6}+\frac{3}{5}\right)\cdot24$.

1. 1
   Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$$1\frac{5}{6}=\frac{11}{6}$$
2. 2
   Складываем дроби, приведя их к общему знаменателю:$$\frac{11}{6}+\frac{3}{5}=\frac{55}{30}+\frac{18}{30}=\frac{73}{30}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{4^3}{2^5}$.

1. 1
   Вычислим числитель и знаменатель:$$4^3 = 64,\quad 2^5 = 32$$
2. 2
   Разделим полученные значения:$$\dfrac{4^3}{2^5} = \dfrac{64}{32} = 2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\left(5{,}2 \cdot 10^2\right) : \left(1{,}3 \cdot 10^{-2}\right)$.

1. 1
   Представим деление как произведение частных числовых множителей и степеней десятки.$$\dfrac{5{,}2 \cdot 10^2}{1{,}3 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{5{,}2}{1{,}3} \cdot 10^{2-(-2)}$$
2. 2
   Вычислим частное числовых множителей и показатель степени.$$4 \cdot 10^4 = 40000$$

Разность квадратов корней

Найдите значение выражения $(\sqrt{15}-\sqrt{5})(\sqrt{15}+\sqrt{5})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{15}$ и $b=\sqrt{5}$:$$(\sqrt{15}-\sqrt{5})(\sqrt{15}+\sqrt{5})=(\sqrt{15})^2-(\sqrt{5})^2=15-5=10$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{6^{-3}\cdot 6^7}{6^2}$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются.$$6^{-3}\cdot 6^7\div 6^2=6^{-3+7-2}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени и значение выражения.$$6^{-3+7-2}=6^2=36$$