Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из теоремы синусов.$$a = \dfrac{b \sin \alpha}{\sin \beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$a = \dfrac{12 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{5}} = \dfrac{2}{\frac{1}{5}} = 10$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если…

1. 1
   Подставим заданные значения сторон в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{7})^2 - 2^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3 + 2 \cdot 7 - 4}}{2} = \dfrac{\sqrt{16}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d^2\sin\alpha}{2}$, где $d$ — длина диагонали, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу площади:$$S = \dfrac{6^2 \cdot \frac{1}{3}}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = \dfrac{36 \cdot \frac{1}{3}}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$45 = \frac{1}{2}d_1 \cdot 16 \cdot \frac{5}{8}$$
2. 2
   Упростим правую часть уравнения.$$45 = 5d_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{3+12}\sqrt{3\cdot12\left((3+12)^2-(5\sqrt{5})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$3\cdot12\left(15^2-125\right)=36\cdot100=3600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину второй диагонали из формулы площади:$$d_2 = \frac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2 = \frac{2 \cdot 3}{6 \cdot \frac{1}{11}} = \frac{6}{6/11} = 11$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 7$…

1. 1
   Подставим значения $a = 7$, $b = 9$ и $c = 8$ в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - 8^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - 8^2 = 98 + 162 - 64 = 196$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения диагоналей и синуса угла в формулу площади.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 18 \cdot \dfrac{8}{9}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = 32$$

Найти косинус угла

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   Применим основное тригонометрическое тождество:$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
2. 2
   Подставим значение синуса и найдём квадрат косинуса:$$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 25…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{25+51+74}{2} = 75$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{75(75-25)(75-51)(75-74)} = \sqrt{75 \cdot 50 \cdot 24 \cdot 1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$4 = \dfrac{1}{2}d_1 \cdot 7 \cdot \dfrac{2}{7}$$
2. 2
   Сократим множители и найдём длину диагонали.$$4 = d_1$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим значения катетов и гипотенузы в формулу радиуса.$$r = \dfrac{32+255-257}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2.$$r = \dfrac{30}{2} = 15$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 42}{6 \cdot 20} = \dfrac{84}{120} = 0{,}7$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если $a = 8$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a = 8$, $b = 15$ и $r = 3$.$$3 = \dfrac{8+15-c}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $2$ и выразим гипотенузу.$$6 = 23-c, \quad c = 23-6 = 17$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим в формулу значения катетов и гипотенузы:$$r = \dfrac{21+220-221}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$r = \dfrac{20}{2} = 10$$

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади:$$S = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{13 \cdot 40 \cdot 51}{4 \cdot \frac{85}{2}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби:$$S = \dfrac{26520}{170} = 156$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos\gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим данные в теорему косинусов.$$\cos\gamma = \dfrac{15^2 + 17^2 - 19^2}{2 \cdot 15 \cdot 17}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos\gamma = \dfrac{225 + 289 - 361}{510} = \dfrac{153}{510}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin \alpha=\dfrac{a\sin \beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin \alpha=\dfrac{10\cdot\frac{18}{25}}{9}=\frac{180}{225}=0.8$$

Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 15\pi$.

1. 1
   Подставим $\Sigma = 15\pi$ в формулу суммы углов:$$15\pi = (n - 2)\pi$$
2. 2
   Сократим обе части уравнения на $\pi$:$$15 = n - 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади:$$18 = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot d_2 \cdot \dfrac{3}{7}$$
2. 2
   Упростим выражение:$$18 = \dfrac{9}{7}d_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении