Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина отрезка BH

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 20$, $\sin A = 0{,}3$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{20}{0{,}3} = \dfrac{200}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 7$, $BC = 1$, а её площадь равна 96. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Обозначим высоту трапеции через $h$. По формуле площади трапеции:$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём высоту:$$96 = \frac{7 + 1}{2}h = 4h,\quad h = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в окружности

На окружности радиусом 10 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 6$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2 \cdot 10 = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 44$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $C$ дополняет внешний угол до $180^\circ$:$$\angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а медиана $BK$ к основанию $AC$ является высотой. Поэтому треугольник $BCK$ прямоугольный.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 58$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол, опирающийся на дугу

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 5^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle DBA$ равен половине дуги $DA$, на которую он опирается.$$\widehat{DA} = 2 \cdot 5^\circ = 10^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $DAB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\widehat{DB} = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 26$, $AC = 20$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 10$$
2. 2
   Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 22^\circ$ и $\angle BDC = 45^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из условия $AB = CD$ следует, что трапеция $ABCD$ равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 22^\circ + 45^\circ = 67^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 35^\circ$ и $\angle BDC = 66^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как основания трапеции параллельны, внутренние накрест лежащие углы равны:$$\angle DBC = \angle BDA = 35^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $BCD$ и найдём его угол при вершине $C$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle BDC - \angle DBC = 180^\circ - 66^\circ - 35^\circ = 79^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 42. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине $B$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, причём $AB$ — гипотенуза, а $BK=42$ — катет.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 15, одна из средних линий равна 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, поэтому второй катет равен:$$b = 2 \cdot 4 = 8$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что основания $AD = 8$ и $BC = 2$, а её площадь равна 35. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Выразим высоту трапеции из формулы её площади:$$35=\frac{8+2}{2}h=5h$$
2. 2
   Высота трапеции равна:$$h=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{4}{7}$, $BC = 42$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащей, а $BC$ — прилежащей.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 42 \cdot \dfrac{4}{7} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Биссектриса в треугольнике

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB=16$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ являются смежными с внешними углами, поэтому каждый из них равен $30^\circ$.$$\angle A=\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
2. 2
   Углы $A$ и $C$ равны, значит, треугольник равнобедренный: $AB=BC=16$. Тогда угол при вершине $B$ равен $120^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наименьшая средняя линия

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 12. Гипотенуза равна 13. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём меньший катет:$$b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$$
2. 2
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Наименьшая средняя линия соответствует меньшему катету:$$m = \dfrac{5}{2} = 2.5$$

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $52^\circ$, угол $ABC$ равен $13^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AL$ — биссектриса угла $A$, обозначим каждую половину угла $A$ через $x$. Угол $ACB$ обозначим через $y$.$$\angle BAL = \angle LAC = x,\quad \angle ACB = y$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ALC$ и применим теорему о сумме углов треугольника.$$x + y + 52^\circ = 180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между пересекающимися прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла 3, если $\angle 1 = 74^\circ$, $\angle 2 = 39^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, углы наклона двух пересекающих их прямых к горизонтальному направлению равны $74^\circ$ и $39^\circ$.
2. 2
   Углы $74^\circ$, $39^\circ$ и угол 3 образуют развернутый угол.$$74^\circ + \angle 3 + 39^\circ = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 2\sqrt{15}$, диагональ $BD = 2$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = \sqrt{15}$ и $BO = 1$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора.$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{15 + 1} = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $133^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $B$ в сумме дают $180^\circ$.$$B = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $A = B = 47^\circ$.$$A = B$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 133^\circ$, $\angle 2 = 43^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $m \parallel n$, угол между первой наклонной прямой и горизонтальным направлением равен$$180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$$
2. 2
   Вторая наклонная прямая образует с параллельными прямыми угол $43^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении