ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Синус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$, $AC = 24$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам, поэтому половина основания равна $12$.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2} = 12$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту $BK$:$$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Биссектриса в треугольнике

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 42$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол треугольника при вершине $A$ равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Аналогично, угол при вершине $C$ также равен $30^\circ$.$$\angle A = \angle C = 30^\circ$$
2. 2
   Против равных углов лежат равные стороны, поэтому $AB = BC$. Треугольник равнобедренный, а биссектриса $BK$ является высотой.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 4$, $BC = 1$, а её площадь равна $35$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Пусть $h$ — высота трапеции. Запишем площадь трапеции:$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2}h = \frac{4 + 1}{2}h = \frac{5h}{2}$$
2. 2
   Треугольник $ABC$ имеет основание $BC$ и ту же высоту $h$:$$S_{ABC} = \frac{BC \cdot h}{2} = \frac{h}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $180$, сторона $BC = 15$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поэтому найдём длину стороны $AB$:$$AB = \frac{180}{15} = 12$$
2. 2
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 12$, а $AD = BC = 15$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в правильном десятиугольнике

$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $CAH$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного десятиугольника, равен:$$360^\circ : 10 = 36^\circ$$
2. 2
   Дуга $CH$, не содержащая вершину $A$, состоит из пяти равных дуг:$$5 \cdot 36^\circ = 180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 17$, $AC = 16$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $AH = HC = 8$.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 8$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 4 и 10, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции равна проекции боковой стороны на перпендикуляр к основанию:$$h = 8\sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
2. 2
   Площадь трапеции вычисляется как полусумма оснований, умноженная на высоту:$$S = \frac{4+10}{2}\cdot 4 = 28$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $20$, а $\tg A = \dfrac{20}{21}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
2. 2
   По определению тангенса угла $A$ найдём половину основания:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{20}{AM} = \dfrac{20}{21},\quad AM=21$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 21, одна из средних линий равна 10. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, параллельной ей. Так как средняя линия равна 10, соответствующая сторона равна 20.$$b = 2 \cdot 10 = 20$$
2. 2
   Средняя линия не может быть параллельна катету 21, поскольку тогда её длина была бы 10,5. Следовательно, сторона 20 — второй катет.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $34$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен$$\angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, а $BC$ — его гипотенуза.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 16^\circ$, $\angle 2 = 71^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол наклона восходящей секущей к прямой $m$ равен углу $\angle 2$.$$\alpha = 71^\circ$$
2. 2
   Угол наклона нисходящей секущей к левому направлению прямой $m$ равен $\angle 1$.$$\beta = 16^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 48, площадь треугольника равна 168. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Выразим высоту треугольника через его площадь и основание.$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 168}{48} = 7$$
2. 2
   Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам.$$AD = DC = \dfrac{48}{2} = 24$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{5}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий данной дуге, составляет такую же долю полного угла:$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{5}{36} = 50^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального:$$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 32$, $\tg A = \frac{5}{4}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $AH = HC = 16$.$$AH = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ и найдём высоту по тангенсу угла $A$.$$\tg A = \frac{BH}{AH} = \frac{5}{4},\quad BH = 16 \cdot \frac{5}{4} = 20$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона параллелограмма по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 41. Одна из сторон параллелограмма равна 40. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
2. 2
   По теореме Пифагора для прямоугольника найдём вторую сторону:$$b=\sqrt{41^2-40^2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $6$, а $\tg A = 1{,}2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём половину основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{6}{1{,}2}=5$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $121^\circ$, угол $ABC$ равен $101^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Пусть $\angle CAL=\angle BAL=x$, так как $AL$ — биссектриса угла $A$, а $\angle ACB=y$.$$\angle A=2x,\quad \angle C=y$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ALC$.$$x+y+121^\circ=180^\circ,\quad x+y=59$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 490, сторона $BC = 35$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $BC = AD = 35$, найдём длину стороны $AB = CD$:$$AB = CD = \dfrac{490}{35} = 14$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{14}{35} = 0{,}4$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\circ$, угол $CAD$ равен $60^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По свойству вписанного угла дуга, на которую опирается угол $ABC$, вдвое больше этого угла:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot92^\circ=184^\circ$$
2. 2
   Аналогично найдём дугу $CD$:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot60^\circ=120^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $14$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Поэтому сумма двух углов, равная $240^\circ$, означает, что каждый из них равен $120^\circ$. Другие два угла равны $60^\circ$.$$2\alpha=240^\circ,\quad \alpha=120^\circ,\quad 180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. Она делит ромб на прямоугольные треугольники, где половина диагонали равна $a\sin 30^\circ$.$$\frac{d}{2}=a\sin 30^\circ=\frac{a}{2}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде