Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $3x - 4 = 8x + 5$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$3x - 8x = 5 + 4$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение:$$-5x = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 9$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Из уравнения $x^2 = 9$ получаем два корня:$$x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$$
2. 2
   Корни уравнения — $3$ и $-3$. Меньший из них равен $-3$.$$x_{\min} = -3$$

Корни квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 5x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и вынесем $x$ за скобки.$$x^2 - 5x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x(x - 5) = 0$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.$$x = 0 \quad \text{или} \quad x - 5 = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_5(x+3)+\log_5 4=\log_5 16$.

1. 1
   Объединим логарифмы в левой части по свойству логарифма произведения.$$\log_5(x+3)+\log_5 4=\log_5\bigl(4(x+3)\bigr)$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем аргументы.$$4(x+3)=16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{10 - x} = 3$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$10 - x = 3^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$10 - x = 9 \Rightarrow x = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $1 + 3x = -2x + 2$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую.$$3x + 2x = 2 - 1$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые.$$5x = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Иррациональное уравнение

Решите уравнение $\sqrt{13-x}=3$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$13-x=3^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$13-x=9 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\ln 23 - \ln(2x - 11) = \ln 5$.

1. 1
   Определим область допустимых значений: аргумент второго логарифма должен быть положительным.$$2x-11>0 \quad\Rightarrow\quad x>5{,}5$$
2. 2
   Объединим разность логарифмов в один логарифм.$$\ln\frac{23}{2x-11}=\ln 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{\frac{1}{2}}(2x+5)-\log_{\frac{1}{2}}13=\log_{\frac{1}{2}}5$.

1. 1
   Область допустимых значений определяется условием $2x+5>0$, то есть $x>-\dfrac{5}{2}$.$$2x+5>0$$
2. 2
   Объединим логарифмы в левой части:$$\log_{\frac{1}{2}}(2x+5)-\log_{\frac{1}{2}}13=\log_{\frac{1}{2}}\frac{2x+5}{13}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 9 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов.$$x^2-9=(x-3)(x+3)$$
2. 2
   Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни.$$x-3=0 \Rightarrow x=3;\quad x+3=0 \Rightarrow x=-3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   В предоставленном изображении само уравнение не отображается, поэтому промежуточные преобразования восстановить невозможно.
2. 2
   По проверенному правильному ответу корень уравнения равен 28.$$x = 28$$

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{0{,}2}(2x-3)+\log_{0{,}2}7=\log_{0{,}2}28$.

1. 1
   Проверим область допустимых значений: аргумент первого логарифма должен быть положительным.$$2x-3>0$$
2. 2
   Объединим логарифмы с одинаковым основанием.$$\log_{0{,}2}\bigl(7(2x-3)\bigr)=\log_{0{,}2}28$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $2 + 9x = 4x + 3$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$9x - 4x = 3 - 2$$
2. 2
   Упростим уравнение:$$5x = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-8(3+x)+x=4$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$-8(3+x)+x=4 \Rightarrow -24-8x+x=4 \Rightarrow -24-7x=4$$
2. 2
   Перенесём свободный член в правую часть:$$-7x=4+24=28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{19 + 5x} = 2$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$19 + 5x = 2^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$5x = 4 - 19 = -15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корни квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 5x = -6$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$x^2 + 5x + 6 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x+2)(x+3)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Иррациональное уравнение

Решите уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{10}$.

1. 1
   Так как корень находится в знаменателе, необходимо $x > 0$.
2. 2
   Из равенства обратных дробей получаем:$$\sqrt{x} = 10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_5(-2x+9)=2$.

1. 1
   По определению логарифма преобразуем уравнение:$$-2x+9=5^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$-2x+9=25,\quad -2x=16,\quad x=-8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень уравнения

Найдите корень уравнения. Формула уравнения в исходных данных отсутствует.

1. 1
   В условии присутствует только указание найти корень, но само уравнение не приведено.
2. 2
   Без уравнения невозможно выполнить преобразования и найти значение корня.

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{11}(5x + 106) = 2$.

1. 1
   По определению логарифма преобразуем уравнение:$$5x + 106 = 11^2$$
2. 2
   Вычислим значение степени и решим линейное уравнение:$$5x + 106 = 121,\quad 5x = 15,\quad x = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении