ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Теңдеулер» — жауаптарымен

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{x+1}=\frac{1}{25}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$:$$\frac{1}{25}=\left(\frac{1}{5}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$x+1=2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Уравнение с квадратным корнем

Решите уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{8}$.

1. 1
   Область допустимых значений: $x > 0$.$$x > 0$$
2. 2
   Приравниваем знаменатели дробей:$$\sqrt{x} = 8$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{3}(5x-6)=2$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$5x-6=3^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$5x-6=9 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 6 = 5x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Шешім квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 16 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов.$$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$
2. 2
   Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни.$$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4; \quad x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x-3} : \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = 1$.

1. 1
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x-3} : \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x-3-x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x-3}$$
2. 2
   Основание степени $\dfrac{1}{2}$ не равно $1$, поэтому показатель степени должен быть равен нулю:$$3x-3=0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $9x + 2(1 - 6x) = -x - 6$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$9x + 2(1 - 6x) = -x - 6 \Rightarrow 9x + 2 - 12x = -x - 6 \Rightarrow -3x + 2 = -x - 6$$
2. 2
   Перенесём слагаемые с неизвестным в левую часть, а числа — в правую:$$-3x + x = -6 - 2 \Rightarrow -2x = -8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Шешім иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{10 - x} = 4$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$10 - x = 4^2$$
2. 2
   Решим получившееся уравнение:$$10 - x = 16 \Rightarrow -x = 6 \Rightarrow x = -6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $4^{2x+3} \cdot 4^{-6x+5} = 64$.

1. 1
   Преобразуем произведение степеней с одинаковым основанием и представим $64$ как степень числа $4$.$$4^{2x+3} \cdot 4^{-6x+5} = 4^{(2x+3)+(-6x+5)} = 4^{-4x+8}, \quad 64=4^3$$
2. 2
   Так как основания степеней равны, приравниваем показатели.$$-4x+8=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_5(24 - 7x) = \log_5 3$.

1. 1
   Основания логарифмов одинаковы и больше единицы, поэтому приравниваем аргументы:$$24 - 7x = 3$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$7x = 21,\quad x = 3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 6 = 5x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   Уравнение на предоставленном изображении не отображается полностью, поэтому промежуточные преобразования восстановить невозможно.
2. 2
   Проверенный правильный ответ: корень уравнения равен 50.$$x = 50$$

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{7}\right)^{5x-3}=\dfrac{1}{49}$.

1. 1
   Представим правую часть как степень с тем же основанием:$$\dfrac{1}{49}=\left(\dfrac{1}{7}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней равны и не равны единице, поэтому приравниваем показатели:$$5x-3=2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 2x = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Вынесем $x$ за скобки:$$x^2 + 2x = x(x+2)=0$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:$$x=0 \quad \text{или} \quad x+2=0$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $7 - 5(7 - 2x) = 6x - 4$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$7 - 5(7 - 2x) = 6x - 4 \Rightarrow 7 - 35 + 10x = 6x - 4$$
2. 2
   Перенесём неизвестные и постоянные слагаемые:$$10x - 6x = 35 - 4 - 7$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Меньший корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 12 = 7x$. Если уравнение имеет более бір корня, укажите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$x^2 - 7x + 12 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 3)(x - 4) = 0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Шешім иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{7 - x} = 3$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$7 - x = 3^2$$
2. 2
   Решаем полученное уравнение:$$7 - x = 9 \Rightarrow x = -2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{11}(7x - 12) = \log_{11}23$.

1. 1
   Основания логарифмов одинаковы и равны $11 > 1$, поэтому приравниваем аргументы:$$7x - 12 = 23$$
2. 2
   Решаем полученное уравнение:$$7x = 35,\quad x = 5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Уравнение с корнем

Решите уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{5}$.

1. 1
   Из условия существования выражения следует, что $x > 0$.$$x > 0$$
2. 2
   Приравниваем знаменатели в уравнении:$$\sqrt{x} = 5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{3-5x}=\left(\frac{1}{16}\right)^{1-x}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения со основанием $\frac{1}{2}$:$$\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^4$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы и не равны единице, поэтому приравняем показатели:$$3-5x=4(1-x)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде