Тапсырма 19 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Наибольшее трёхзначное число

Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.

1. 1
   Число, которое делится на 5, оканчивается цифрой 0 или 5.
2. 2
   Чтобы число было наибольшим, его сотни должны быть равны 8, так как цифра 9 запрещена. Наибольшая допустимая цифра в разряде десятков также равна 8.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 22

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 40. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим число 22 на множители: $22 = 2 \cdot 11$. Значит, искомое число должно делиться на 2 и на 11.
2. 2
   Число 1518 оканчивается чётной цифрой, поэтому делится на 2.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Пятизначное число с произведением цифр

Найдите пятизначное число, кратное 15, произведение цифр которого равно 60. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 15, должно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра может быть равна 5.
2. 2
   Рассмотрим пятизначное число 11265. Произведение его цифр равно 60.$$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 298, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Номер первой страницы после выпавших листов должен быть больше 298 и состоять из тех же цифр. Подходит число 829.$$829 > 298$$
2. 2
   Выпавшие бет имеют нөмір от 299 до 828 включительно.$$829 - 298 - 1 = 530$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 45

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 45, должно делиться на 5 и на 9, поскольку $45 = 5 \cdot 9$.
2. 2
   Так как все цифры чётные, последняя цифра при делимости на 5 должна быть равна 0.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 125

Найдите четырёхзначное число, кратное 125, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 125, должно оканчиваться одним из сочетаний: 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875.
2. 2
   Все цифры числа должны быть нечётными и различными. Из возможных окончаний подходит 375.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 22

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Подберём четырёхзначное число, произведение цифр которого равно 24. Для числа 3124 имеем:$$3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 24$$
2. 2
   Проверим делимость числа 3124 на 22. Число чётное, так как оканчивается цифрой 4. Кроме того, оно делится на 11, поскольку разность сумм цифр на нечётных и чётных местах равна нулю:$$(3 + 2) - (1 + 4) = 0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Наибольшее число, кратное 20

Найдите наибольшее трёхзначное число, которое нацело делится на 20.

1. 1
   Наибольшее трёхзначное число равно 999. Ищем ближайшее к нему число, кратное 20.
2. 2
   Числа, кратные 20, оканчиваются на 00, 20, 40, 60 или 80. Поэтому наибольшее подходящее трёхзначное число — 980.

Сумма из карточек

На шести карточках написаны цифры 1, 2, 2, 3, 5, 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…

1. 1
   Расположим карточки так, чтобы получить числа $7$, $12$ и $721$. Все цифры набора $1, 2, 2, 3, 5, 7$ использованы ровно по одному разу.$$7 + 12 + 721$$
2. 2
   Вычислим полученную сумму.$$7 + 12 + 721 = 740$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Представим произведение в виде произведения чисел, составленных из пяти отметок. Подходит разложение $5230 = 523 \cdot 2 \cdot 5$.
2. 2
   Значит, последовательность отметок может быть такой: $5, 2, 3, 2, 5$. Между первой тройкой ставим знаки умножения так, чтобы получить число 523.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Делимость числа после вычёркивания цифр

Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 15, должно делиться на 3 и на 5.
2. 2
   Выберем из исходного числа цифры 7, 4, 5, 3, 5, не меняя их порядок. Получаем число 74535.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Трёхзначное число кратное 30

Найдите трёхзначное число, кратное 30, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число $240$ трёхзначное, его цифры $2$, $4$ и $0$ различны. Оно оканчивается на $0$, а сумма цифр равна $2+4+0=6$, поэтому число делится на $10$ и на $3$, значит, делится на $30$.$$240 = 30 \cdot 8$$
2. 2
   Вычислим сумму квадратов цифр:$$2^2+4^2+0^2=4+16=20$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Число, делящееся на цифры

Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1300, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число четырёхзначное и меньше $1300$, его первая цифра равна $1$, а вторая — $0$, $1$ или $2$. Цифры должны быть различными и ненулевыми, поэтому вторая цифра может быть только $2$.
2. 2
   Рассмотрим число $1236$. Все его цифры различны и не равны нулю.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 125

Найдите четырёхзначное число, кратное 125, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 125, должно оканчиваться одним из возможных остатков при делении на 1000: 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875.
2. 2
   Все цифры числа должны быть нечётными и различными. Из перечисленных окончаний этим условиям удовлетворяет 375.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Пятизначное число кратное 18

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 18, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Составим число, в котором соседние цифры отличаются на 2: $8, 6, 8, 6, 8$.$$86868$$
2. 2
   Проверим делимость на 18. Последняя цифра числа чётная, поэтому число делится на 2.$$8 \vdots 2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Іздеу числа по остаткам

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 даёт в остатке 2 и в записи которого использованы только две различные цифры. В ответе запишите…

1. 1
   Число должно давать остаток 2 при делении на 3, 4 и 5. Поэтому число, уменьшенное на 2, должно делиться на каждое из этих чисел.$$n - 2 \text{ делится на } 3,\ 4\ \text{и}\ 5$$
2. 2
   Число $662$ больше 500 и содержит только две различные цифры: 6 и 2.$$662 = 3 \cdot 220 + 2 = 4 \cdot 165 + 2 = 5 \cdot 132 + 2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Убывающие цифры и делимость

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 6000, но меньшее 8000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число находится между 6000 и 8000, его первая цифра может быть 6 или 7. Все цифры должны строго убывать.
2. 2
   Для делимости на 18 число должно делиться на 2 и на 9. Поэтому последняя цифра должна быть чётной, а сумма всех цифр — кратной 9.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сумма делителей числа

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $105$ представлено в виде произведения различных простых чисел: $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.$$p_1=3,\quad p_2=5,\quad p_3=7$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(3+1)(5+1)(7+1)=4\cdot6\cdot8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как остаток при делении на $3$, $5$ и $7$ равен $2$, число на $2$ больше числа, кратного каждому из этих делителей.$$n-2 \vdots 3,\ 5,\ 7$$
2. 2
   Наименьшее общее кратное чисел $3$, $5$ и $7$ равно $105$, поэтому число имеет вид:$$n=105k+2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 15 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр…

1. 1
   Проверим деление числа $243$ на $4$ и на $15$.$$243 = 4 \cdot 60 + 3;\quad 243 = 15 \cdot 16 + 3$$
2. 2
   Оба ненулевых остатка равны $3$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде