Тапсырма 19 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Выпавшие бет книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 496, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   После выпавших листов нумерация продолжается. Поэтому номер первой страницы после них должен быть больше 496. Он составлен из тех же цифр и должен быть нечётным, так как после чётной страницы 496 выпадают целые листы, то есть чётное число…$$n = 649$$
2. 2
   Определим количество выпавших страниц: из общего промежутка от 496 до 649 исключаем начальную и конечную страницы.$$649 - 496 - 1 = 152$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 44

Найдите четырёхзначное число, кратное 44, любые две соседние цифры которого отличаются на 1. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $1232$. Разности соседних цифр по модулю равны $1$:$$|1-2|=|2-3|=|3-2|=1$$
2. 2
   Проверим кратность числа $44$:$$1232 = 44 \cdot 28$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 12

Найдите четырёхзначное число, большее 6000, но меньшее 7000, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей.

1. 1
   Так как число больше 6000 и меньше 7000, его первая цифра равна 6. Выберем убывающие цифры 4, 2 и 0: получим число 6420.$$6>4>2>0$$
2. 2
   Проверим делимость на 3: сумма цифр числа равна 12, поэтому число делится на 3.$$6+4+2+0=12$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и степень

Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Пусть $n$ — некоторое натуральное число. Тогда искомое число равно четвёртой степени этого числа, делённой на 4:$$x = \dfrac{n^4}{4}$$
2. 2
   Возьмём $n = 10$. Получаем:$$x = \dfrac{10^4}{4} = \dfrac{10000}{4} = 2500$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 12

Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого больше 40, но меньше 45. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Произведение цифр должно быть целым числом строго между 40 и 45, значит оно может быть равно 41, 42, 43 или 44.
2. 2
   Возьмём число $1176$. Произведение его цифр равно:$$1 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 = 42$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Делимость числа на 22

Вычеркните в числе 45341527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число должно делиться на $22 = 2 \cdot 11$, поэтому проверим признаки делимости на 2 и на 11.
2. 2
   Оставим в исходном числе цифры 4, 5, 3, 4 и 2, вычеркнув цифры 1, 5 и 7. Получим число 45342.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Пятизначное число кратное 22

Найдите пятизначное число, кратное 22, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 22, должно делиться на 2 и на 11, поскольку $22=2\cdot11$.
2. 2
   Рассмотрим число $46464$. Разность каждой пары соседних цифр по модулю равна 2: $|4-6|=|6-4|=2$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 55

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 55, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $55=5\cdot 11$, число должно делиться одновременно на $5$ и на $11$.
2. 2
   Все цифры должны быть нечётными и различными. Возьмём число $1375$: все его цифры $1$, $3$, $7$, $5$ нечётные и различны.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число из цифр

Четырёхзначное число $A$ составлено из цифр $0$, $1$, $5$, $6$, а четырёхзначное число $B$ — из цифр $0$, $1$, $2$, $3$. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$.

1. 1
   Число $A$ должно быть четырёхзначным и состоять из цифр $0$, $1$, $5$, $6$. Проверим подходящую перестановку $1560$.$$A=1560$$
2. 2
   Умножим найденное число на $2$.$$B=2A=2\cdot1560=3120$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Число с делимостью цифр

Найдите трёхзначное число $A$, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 6; сумма цифр числа $(A+3)$ делится на 6; число $A$ больше 350 и меньше 400. В ответе запишите…

1. 1
   Число $A$ находится в диапазоне от 351 до 399. При прибавлении 3 сумма цифр должна измениться на число, кратное 6, поскольку обе суммы делятся на 6.$$S(A+3)-S(A) \equiv 0 \pmod{6}$$
2. 2
   Для этого при прибавлении 3 должна произойти переброска через десяток: последняя цифра числа $A$ должна быть не меньше 7. Проверим подходящее число $369$.$$369+3=372$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Подберём разбиение последовательности из пяти цифр на множители. Произведение $2640$ можно представить так:$$2640 = 33 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5$$
2. 2
   Это соответствует пяти отметкам $3$, $3$, $4$, $4$, $5$, причём между первыми двумя отметками поставлен знак умножения после объединения их в число $33$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Іздеу числа по признакам делимости

Найдите четырёхзначное число, большее 4500, но меньшее 5000, которое делится на 36 и сумма цифр которого равна 27. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $36=4\cdot 9$, число должно делиться и на $4$, и на $9.
2. 2
   Проверим число $4788$: сумма его цифр равна $4+7+8+8=27$, поэтому оно делится на $9$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и куб

Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Пусть искомое четырёхзначное число равно $N$. По условию $3N = n^3$, где $n$ — натуральное число.$$N = \dfrac{n^3}{3}$$
2. 2
   Возьмём натуральное число $n = 15$ и вычислим его куб.$$15^3 = 3375$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 328, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Переставляем цифры числа 328. Номер страницы после выпавших листов должен быть больше 328, а количество страниц между 328 и этим номером — чётным.$$823 - 328 - 1 = 494$$
2. 2
   Каждый лист содержит две страницы, поэтому число выпавших листов равно половине числа выпавших страниц.$$494 : 2 = 247$$

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 2 и все цифры в записи которого чётные. Запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Вычтем из искомого числа остаток 2. Получившееся число должно делиться на 4, 5 и 6.$$n-2\ \vdots\ 4,\ 5,\ 6$$
2. 2
   Наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 6 равно 60, поэтому искомое число имеет вид:$$n=60k+2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе 75416303 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 30, должно делиться на 10 и на 3.
2. 2
   Чтобы число делилось на 10, оставляем последней цифрой 0.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сумма делителей числа

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число уже представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $174=2\cdot3\cdot29$.$$p_1=2,\quad p_2=3,\quad p_3=29$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)=(2+1)(3+1)(29+1)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе 53164185 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число должно делиться на 12, то есть одновременно делиться на 3 и на 4.$$12 = 3 \cdot 4$$
2. 2
   Из числа 53164185 оставим цифры 5, 1, 6, 4, 8, вычеркнув цифры 3, 1 и 5. Получим число 51648.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Трёхзначное число кратное 25

Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25.

1. 1
   Число $125$ трёхзначное и кратно $25$, поскольку оканчивается на $25$.
2. 2
   Все его цифры различны: $1$, $2$ и $5$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 2277. Укажите какое-нибудь одно такое…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Тогда после перестановки цифр получается число $\overline{dcba}$.$$\overline{abcd}-\overline{dcba}=2277$$
2. 2
   Проверим число $8085$. Оно является четырёхзначным и кратно 5, поскольку оканчивается цифрой 5.

Ещё 2 қадам — толық шешімде