Найдите величину вписанного угла, опирающегося на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{4}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет четверть длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол составляет четверть полного угла.$$\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$
Площадь прямоугольного треугольника равна 336. Один из катетов равен 14. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По формуле площади прямоугольного треугольника найдём второй катет:$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 336}{14} = 48$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{2500} = 50$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $22$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании supplementary с внешним углом:$$\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный. Сторона $BM$ лежит напротив угла $C=30^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 40^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 50. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшей дуге соответствует центральный угол $40^\circ$, а большей дуге — угол$$360^\circ - 40^\circ = 320^\circ$$
- 2
Отношение длины большей дуги к длине меньшей равно отношению соответствующих центральных углов:$$\frac{320}{40}=8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $42$, а $\tg A = \frac{21}{20}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой, а точка $M$ — серединой основания. В прямоугольном треугольнике $ABM$:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{42}{21/20} = 40$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$. Площадь треугольника равна 25. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Найдём катет $AC$ по площади:$$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BC$$
- 2
Подставим известные значения:$$25 = \dfrac{1}{2}AC \cdot 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 30$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Поскольку $AB$ — диаметр, центральный угол $\angle AOB$ равен $180^\circ$. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды выражается через радиус и центральный угол:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 8$, а периметр параллелограмма равен 40.
- 1
По формуле периметра параллелограмма найдём сторону $BC$:$$2(AB + BC) = 40$$
- 2
Подставим $AB = 8$ и вычислим $BC$:$$BC = 20 - 8 = 12$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 20$, сторона $AB = \sqrt{101}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому $AO = \dfrac{AC}{2} = 10$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём $BO$:$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{101 - 100} = 1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника равна 60, а одна из сторон равна 5. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.
- 1
Найдём вторую сторону прямоугольника по его площади:$$b=\dfrac{60}{5}=12$$
- 2
Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами 5 и 12. По теореме Пифагора:$$d=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 48$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{91}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{91})^2} = \sqrt{100 - 91} = 3$$
- 2
Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{10} = 0.3$$
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна $16$.
- 1
Площадь квадрата равна $16$, поэтому его сторона равна $4$. Сторона ромба также равна $4$.$$a = \sqrt{16} = 4$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадратов стороны на синус острого угла.$$S = a^2\sin\alpha = 4^2\sin 30^\circ = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $63$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 42$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развёрнутый угол:$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $125^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $B$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle B = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 55^\circ$.$$\angle A = 55^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 25$, $AC = 24$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$$
- 2
Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0{,}28$$
На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 7$, $BC = 24$. Найдите радиус окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 29$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол $A$ и внешний угол при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 11^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ADB$, опирающийся на диаметр, прямой.$$\angle ADB = 90^\circ$$
- 2
В треугольнике $ADB$ найдём угол $DAB$.$$\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 11^\circ = 79^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении