$ABCDEF GHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $CAF$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного девятиугольника, равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
- 2
Дуга $CF$, не содержащая точку $A$, включает три стороны: $CD$, $DE$ и $EF$.$$3\cdot40^\circ=120^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $27$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Поэтому сумма двух углов $240^\circ$ — это сумма двух тупых углов, каждый из которых равен $120^\circ$. Острые углы равны $60^\circ$.
- 2
Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она делит ромб на два равносторонних треугольника, поэтому равна стороне ромба: $a = 27$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 12$, $\sin A = 0{,}75$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{12}{0{,}75} = 16$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания трапеции равны 7 и 19, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Найдём высоту трапеции как перпендикулярную составляющую боковой стороны.$$h=6\sin150^\circ=6\cdot\frac{1}{2}=3$$
- 2
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S=\frac{7+19}{2}\cdot3=13\cdot3=39$$
Сторона ромба равна 10, одна из его диагоналей равна 12. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина известной диагонали равна $12:2=6$. Половины диагоналей ромба и его сторона образуют прямоугольный треугольник.$$\left(\dfrac{12}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2 = 10^2$$
- 2
Найдём половину второй диагонали:$$\dfrac{d_2}{2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла 3, если $\angle 1 = 32^\circ$, $\angle 2 = 77^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Наклонные прямые пересекают параллельные прямые $m$ и $n$, поэтому соответствующие углы равны. Углы при основании образованного треугольника равны $32^\circ$ и $77^\circ$.
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\angle 3 = 180^\circ - 32^\circ - 77^\circ = 71^\circ$$
На окружности радиусом 5 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 6$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2R = 2 \cdot 5 = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 16$, $AC = BD = 34$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
В параллелограмме диагонали равны, поэтому параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
- 2
Найдём вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{900} = 30$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции — это перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h = 6\sin 150^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$
- 2
Найдём площадь трапеции по формуле через основания и высоту.$$S = \frac{8+16}{2}\cdot 3 = 36$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{51}$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - (\sqrt{51})^2 = 100 - 51 = 49$$
- 2
Следовательно, $BC = 7$. Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{10} = 0{,}7$$
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 19$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Радиусы $OA$ и $OC$ равны, поэтому треугольник $AOC$ равнобедренный. При угле между равными сторонами $60^\circ$ он является равносторонним.$$OA = AC = 19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности радиусом 40 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 12$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Угол $ACB$ прямой, так как он опирается на диаметр окружности.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Найдём длину диаметра окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 40 = 80$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований трапеции равна $104-56=48$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по краям, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $48:2=24$.$$x=\frac{104-56}{2}=24$$
- 2
Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной боковой стороне.$$h=\sqrt{30^2-24^2}=\sqrt{324}=18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 38$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.
- 1
Внутренний угол при вершине $C$ supplementary внешнему углу:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Так как $AB = BC$, треугольник равнобедренный, поэтому $\angle A = \angle C = 30^\circ$. Тогда:$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 6\sqrt{11}$, диагональ $BD = 2$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому $AO = \dfrac{AC}{2} = 3\sqrt{11}$, а $BO = \dfrac{BD}{2} = 1$.$$AO=3\sqrt{11},\quad BO=1$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём сторону ромба $AB$:$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(3\sqrt{11})^2+1^2}=\sqrt{100}=10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 17. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, $AM=MC$. Так как $BM$ — биссектриса, по теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}=1$, значит, $AB=BC$.
- 2
Медиана $BM$ делит угол $B=120^\circ$ пополам, поэтому $\angle ABM=60^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 6$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 8. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника, поэтому основание $AC$ в два раза больше него.$$AC = 2MN = 2 \cdot 8 = 16$$
- 2
Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и перпендикулярна ему.$$AK = \dfrac{AC}{2} = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 25$, $AC = 14$. Найдите $BD$.
- 1
Так как диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, данный параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, применяем теорему Пифагора:$$AB^2 = \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 4$, $BC = 2$, а её площадь равна 90. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$. Их высоты, проведённые к основаниям $BC$ и $AD$, равны.
- 2
Поэтому площади треугольников относятся как длины оснований:$$\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 40$, $AC = 150$.
- 1
Медиана делит сторону $AC$ пополам, поэтому$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{150}{2} = 75$$
- 2
Так как $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 75^2 + 40^2 = 5625 + 1600 = 7225$$
Ещё 1 шаг — в полном решении