В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $130^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$$
- 2
Найдём центральный угол $AOB$:$$\angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 77^\circ$, $\angle 2 = 9^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол наклона первой секущей к горизонтальному направлению равен $77^\circ$, а второй секущей — $9^\circ$.
- 2
Угол $\angle 3$ складывается из этих двух углов.$$\angle 3 = 77^\circ + 9^\circ = 86^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{34}$, $BC = 3$. Найдите $\tg A$.
- 1
По теореме Пифагора найдём катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{34 - 3^2} = \sqrt{25} = 5$$
- 2
Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$:$$\tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 47$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными, поэтому$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой:$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 6^\circ$, $\angle 2 = 101^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, углы, образованные секущими и параллельными прямыми, можно рассматривать как части развернутого угла.$$\angle 1 + \angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$$
- 2
Подставим известные значения углов и найдём угол $3$.$$\angle 3 = 180^\circ - 6^\circ - 101^\circ = 73^\circ$$
Основания равнобедренной трапеции равны 44 и 76, боковая сторона равна 65. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $76-44=32$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по бокам, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $32:2=16$.$$x=\frac{76-44}{2}=16$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора.$$h=\sqrt{65^2-16^2}=\sqrt{3969}=63$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его периметр равен $20$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
Сумма двух противоположных равных углов ромба равна $240^\circ$, поэтому каждый из них равен $120^\circ$. Другие углы равны $60^\circ$.$$120^\circ:2=120^\circ,\quad 360^\circ-2\cdot120^\circ=120^\circ,\quad 120^\circ:2=60^\circ$$
- 2
Найдём длину стороны ромба по его периметру.$$a=\frac{20}{4}=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 65^\circ$. Найдите величину угла $CMA$.
- 1
Так как луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, то углы $DMC$ и $DMB$ равны.$$\angle DMB = \angle DMC = 65^\circ$$
- 2
Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = \angle DMC + \angle DMB = 65^\circ + 65^\circ = 130^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 43^\circ$ и $\angle BDC = 88^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из условия $AB = CD$ следует, что трапеция $ABCD$ равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = 43^\circ + 88^\circ = 131^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 50, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Из-за равнобедренности боковые отрезки у оснований равны:$$x=\dfrac{50-14}{2}=18$$
- 2
Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 30:$$h=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
- 1
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.$$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$$
- 2
Наибольшая средняя линия параллельна наибольшей стороне, то есть гипотенузе, и равна её половине.$$m = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $16^\circ$, угол $CAD$ равен $32^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому дуга $AD$ в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot16^\circ=32^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому дуга $CD$ равна удвоенному углу $CAD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot32^\circ=64^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $53$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{40}{41}$. Гипотенуза $AB = 82$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, а гипотенуза — $AB$. Найдём катет $BC$.$$BC = AB \cdot \cos B = 82 \cdot \frac{40}{41} = 80$$
- 2
По теореме Пифагора найдём второй катет $AC$.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{82^2 - 80^2} = \sqrt{324} = 18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $160$, сторона $AB = 12$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поэтому найдём длину стороны $AD$:$$AD = \frac{S}{AB} = \frac{160}{12} = \frac{40}{3}$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $CD$ равна стороне $AB$, то есть $CD = 12$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $9$, а $\tg A = \dfrac{3}{4}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
- 2
Используем определение тангенса угла $A$ и найдём половину основания.$$\tg A = \frac{BM}{AM} = \frac{3}{4},\quad \frac{9}{AM}=\frac{3}{4},\quad AM=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна 64.
- 1
Найдём сторону квадрата: она же является стороной ромба.$$a = \sqrt{64} = 8$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла.$$S = a^2\sin 30^\circ = 8^2 \cdot \frac{1}{2} = 32$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 40$, $\cos A = 0{,}8$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 40 \cdot 0{,}8 = 32$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 41$, $AC = 18$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $AH = HC = 9$.
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту треугольника:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600} = 40$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 6$, $AC = BD = 10$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
В параллелограмме равные диагонали означают, что он является прямоугольником.
- 2
Обозначим вторую сторону прямоугольника через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2 + 6^2 = 10^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении