В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $21$, $\tg \angle CAD = 0{,}7$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 21$.$$CD = AB = 21$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $CAD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = 0{,}7$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $160^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
- 2
Находим центральный угол, опирающийся на дугу $AB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. Получившиеся у большего основания отрезки равны половине разности оснований:$$x=\dfrac{92-62}{2}=15$$
- 2
Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 39 и катетом 15:$$h=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1521-225}=36$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 9$. Найдите $BD$.
- 1
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому из условия $A + C = 120^\circ$ получаем:$$A = C = 60^\circ$$
- 2
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Диагональ $BD$ выражается через сторону и угол:$$BD = 2AB\sin\frac{A}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 8, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Находим сторону ромба:$$a = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{1/2} = 16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 5$, а периметр параллелограмма равен 22.
- 1
Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Так как $AD \parallel BC$, угол между $AK$ и $AD$ равен углу $AKB$.
- 2
Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A$, получаем равенство углов $BAK$ и $AKB$. Следовательно, треугольник $ABK$ равнобедренный, и $BK = AB = 5$.$$BK = AB = 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 50 см, а ширина экрана 40 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
- 1
Диагональ, ширина и высота прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$50^2 = 40^2 + h^2$$
- 2
Найдём квадрат высоты:$$h^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $7$, а $\tg A = 0{,}1$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания.$$AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{7}{0{,}1} = 70$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 18, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Выразим сторону ромба через высоту и острый угол:$$h = a\sin 30^\circ$$
- 2
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, найдём сторону ромба:$$a = \frac{18}{\sin 30^\circ} = \frac{18}{1/2} = 36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна $64$.
- 1
Найдём сторону квадрата, используя формулу площади квадрата.$$a^2 = 64 \Rightarrow a = 8$$
- 2
Сторона ромба равна стороне квадрата. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.$$S = a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=2:3$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
- 1
Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$. Их площади можно выразить через две стороны и синус угла между ними.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM\cdot BK\cdot\sin B}{BA\cdot BC\cdot\sin B}$$
- 2
Подставим отношения длин сторон из условия.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $DBE$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В правильном восьмиугольнике центральный угол, соответствующий одной стороне, равен:$$\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$$
- 2
Угол $DBE$ является вписанным и опирается на дугу $DE$. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.$$\angle DBE=\dfrac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{13}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{13}{36}$ длины окружности, поэтому её градусная мера равна соответствующей доле полного угла:$$360^\circ \cdot \dfrac{13}{36}=130^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине её градусной меры:$$\dfrac{130^\circ}{2}=65^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $28$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании и внешний угол образуют развернутый угол, поэтому угол при основании равен:$$\angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 5$, медиана $BM = 4$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому $\triangle ABM$ — прямоугольный.$$AM \perp BM$$
- 2
По теореме Пифагора найдём длину основания прямоугольного треугольника $ABM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 55$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Поэтому $AB = AD = 55$.$$AB = BC = CD = DA = 55$$
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, значит из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам и равны $10$ и $24$. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей равны $5$ и $12$.$$\frac{10}{2}=5,\quad \frac{24}{2}=12$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 14$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $\dfrac{AC}{2} = 7$.
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту треугольника:$$h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 4$, $AC = \sqrt{15}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдём катет $BC$.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt{16 - 15} = 1$$
- 2
Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $54^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По свойству вписанного угла дуга, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot54^\circ=108^\circ$$
- 2
Найдём дугу $CD$, на которую опирается угол $CAD$:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot41^\circ=82^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении