В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 130 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует малый конус, подобный всему сосуду. Все его линейные размеры в 3 раза меньше, поэтому объём в $3^3=27$ раз меньше.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}$$
- 2
Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=130\cdot27=3510\ \text{мл}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 20, 20 и 24. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = 16$$
- 2
Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
Основание бака — квадрат со стороной 60 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 60^2 = 3600\ \text{см}^2$$
- 2
Объём вытесненной жидкости равен площади основания бака, умноженной на подъём деңгейі жидкости:$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 3600 \cdot 10 = 36000\ \text{см}^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{4}$ высоты. Объём сосуда равен $2240$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный исходному сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен отношению высот:$$k = \dfrac{3}{4}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{27}{64}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…
- 1
Мысленно разрежем деталь на прямую призму со ступенчатым основанием. Площадь основания равна сумме площадей двух прямоугольников:$$S_{\text{осн}} = 2 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = 12$$
- 2
Периметр ступенчатого основания:$$P_{\text{осн}} = 5 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 16$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного сосуду. Его высота в 4 раза меньше высоты сосуда, поэтому коэффициент подобия равен $\dfrac{1}{4}$.$$k=\dfrac{1}{4}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3=\dfrac{1}{64}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 18, боковое ребро равно 41. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 41 и основанием 18. Высота грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{41^2 - \left(\frac{18}{2}\right)^2} = \sqrt{1681 - 81} = 40$$
- 2
Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 40 = 360$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Однородный шар диаметром 3 см весит 189 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
- 2
Находим массу второго шара:$$m_2 = 189\left(\frac{4}{3}\right)^3 = 189 \cdot \frac{64}{27} = 448$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 190 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает часть конуса, подобную всему сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет восьмую часть объёма сосуда.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 180 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен $\dfrac{2}{3}$.$$k = \dfrac{2}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициентов подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 11 и 5. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 11 и 5:$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 5 = 27{,}5$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 27{,}5 \cdot 4 = 110$$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $6$ и $3\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ на боковой грани.$$BC_1^2=BC^2+CC_1^2$$
- 2
Найдём высоту параллелепипеда:$$CC_1=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{45-36}=3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от оси на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.
- 1
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Одна его сторона равна образующей цилиндра, то есть 15.
- 2
Другая сторона является хордой основания цилиндра. Половина хорды, расстояние от центра до хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник.$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + 24^2 = 25^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $60\ \text{см} \times 20\ \text{см} \times 50\ \text{см}$. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических…
- 1
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений.$$V = abc$$
- 2
Найдём объём аквариума в кубических сантиметрах:$$V = 60 \cdot 20 \cdot 50 = 60000\ \text{см}^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{6}$ высоты. Объём сосуда равен $1620$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует малый конус, подобный исходному конусу. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k = \dfrac{1}{6}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3=\dfrac{1}{216}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 10$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше, чем у…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Пусть радиус первого сосуда равен $R$, а высота воды во втором сосуде — $H$. Радиус второго сосуда равен $\dfrac{R}{2}$.$$\pi R^2 \cdot 10 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 H$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер (в сантиметрах). Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте…
- 1
Поверхность детали состоит из трёх пар равных прямоугольников со сторонами $3$ и $4$, $3$ и $6$, $4$ и $6$ сантиметров.$$S = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 6)$$
- 2
Вычислим площадь поверхности.$$S = 2(12 + 18 + 24) = 108$$
В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Подставим площадь основания бака и величину подъёма деңгейі жидкости:$$V_{\text{детали}} = 80 \cdot 10 = 800\ \text{см}^3$$