Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
- 1
У куба без одной грани нужно покрасить пять квадратных граней.$$6 - 1 = 5$$
- 2
Площадь одной грани со стороной 20 см равна:$$20^2 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает меньший конус, подобный сосуду. Так как уровень жидкости составляет $\frac{1}{3}$ высоты сосуда, коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен:$$k = \dfrac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника? Невидимые рёбра на рисунке не изображены.
- 1
Треугольная призма имеет две треугольные грани, поэтому всего у неё 6 вершин.
- 2
В каждой вершине призмы сходятся три ребра. При отпиливании вершины на её месте образуется треугольная грань с тремя новыми вершинами.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 2$, $AC = 15$ и $AD = 13$.
- 1
Три ребра, выходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны, поэтому объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6}AB \cdot AC \cdot AD$$
- 2
Подставим значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 15 \cdot 13 = 65$$
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 45$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды сохраняется. Площадь квадратного основания нового сосуда в $9$ раз больше, так как его сторона втрое больше.$$S_2 = (3a)^2 = 9a^2 = 9S_1$$
- 2
При неизменном объёме высота столба воды уменьшается в 9 раз.$$h_2 = \dfrac{h_1}{9} = \dfrac{45}{9} = 5$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 110 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает нижнюю часть сосуда, которая является конусом, подобным всему сосуду. Линейный коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну двадцать седьмую объёма сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $5$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную грань $DAA_1D_1$. По теореме Пифагора найдём третье ребро $AA_1$:$$AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2 = (\sqrt{29})^2 - 5^2 = 29 - 25 = 4$$
- 2
Следовательно, $AA_1 = 2$. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:$$V = DA \cdot DC \cdot AA_1 = 5 \cdot 5 \cdot 2 = 50$$
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 70 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный её собственному объёму.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 70 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 70^2 = 4900\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
Изначальный объём воды равен 5 л. После погружения детали объём пространства до нового уровня воды стал в 2,6 раза больше.$$V_{\text{после}} = 2{,}6 \cdot 5 = 13\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности объёма после погружения и первоначального объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 13 - 5 = 8\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 3, а объём параллелепипеда равен 189. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. Из формулы объёма найдём его длину:$$c = \dfrac{189}{9 \cdot 3} = 7$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{6}$ высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает конус, подобный исходному конусу. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\frac{1}{6}$.$$k=\frac{1}{6}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямолинейный участок трубы длиной 5 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Красить нужно только боковую поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину.$$S=C\cdot l$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры и подставим значения.$$l=5\,\text{м}=500\,\text{см},\quad S=16\cdot500=8000\,\text{см}^2$$
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 30 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 30^2 = 900\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $\sqrt{40}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника.$$b = \sqrt{(\sqrt{40})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6$$
- 2
Вычислим площадь основания призмы.$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у…
- 1
Объём воды сохраняется. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Радиус нового сосуда вдвое больше, поэтому площадь его основания в четыре раза больше.$$\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 60 см × 30 см × 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.
- 1
Вычислим объём аквариума как объём прямоугольного параллелепипеда.$$V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72000\ \text{см}^3$$
- 2
Переведём объём из кубических сантиметров в литры.$$72000 : 1000 = 72\ \text{л}$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{4}$ высоты. Объём сосуда равен $6720$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Налитая жидкость имеет форму конуса, подобного сосуду. Его высота составляет $\frac{1}{4}$ высоты полного конуса, поэтому все линейные размеры уменьшены в $4$ раза.$$k=\frac{1}{4}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{6720}=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 40$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза меньше…
- 1
Объём воды сохраняется. Обозначим радиус первого сосуда через $r$, а новый уровень воды — через $H$.$$V_1 = V_2$$
- 2
Радиус второго сосуда в $1{,}5$ раза меньше, поэтому он равен $\dfrac{r}{1{,}5}$. Приравняем объёмы цилиндров.$$\pi r^2 \cdot 40 = \pi \left(\dfrac{r}{1{,}5}\right)^2 H$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 50$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в два с половиной раза…
- 1
Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Пусть $r$ — радиус первого сосуда, а $h_2$ — уровень воды во втором сосуде. Тогда радиус второго сосуда равен $2{,}5r$.$$\pi r^2 \cdot 50 = \pi (2{,}5r)^2 h_2$$
Ещё 2 шага — в полном решении