К правильной шестиугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько рёбер у…
- 1
Правильная шестиугольная призма имеет 6 рёбер нижнего основания, 6 рёбер верхнего основания и 6 боковых рёбер.$$6 + 6 + 6 = 18$$
- 2
Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 рёбер основания и 6 боковых рёбер.$$6 + 6 = 12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
После погружения детали объём, занимаемый водой и деталью, стал в 1,5 раза больше первоначального объёма воды.$$V_{\text{общ}} = 12 \cdot 1{,}5 = 18\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности конечного и первоначального объёмов.$$V_{\text{детали}} = 18 - 12 = 6\ \text{л}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота пирамиды равна 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 110…
- 1
Переведём длину стороны основания оригинальной пирамиды в сантиметры:$$220\ \text{м}=22000\ \text{см}$$
- 2
Найдём коэффициент подобия музейной копии и оригинала:$$k=\dfrac{110}{22000}=\dfrac{1}{200}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямолинейный участок трубы длиной 2 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Красить нужно только боковую поверхность трубы. Её площадь равна произведению внешнего обхвата трубы на длину участка.$$S = C \cdot h$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры.$$2\ \text{м} = 200\ \text{см}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Разобьём деталь на нижний прямоугольный параллелепипед и верхнюю ступеньку.
- 2
Объём нижней части равен:$$V_1 = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
При погружении детали уровень воды увеличился в 1,2 раза, поэтому объём, занимаемый водой вместе с деталью, увеличился на $1{,}2 - 1 = 0{,}2$ от первоначального объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 10 \cdot (1{,}2 - 1) = 2\ \text{л}$$
- 2
Переведём объём детали из литров в кубические сантиметры.$$2 \cdot 1000 = 2000\ \text{см}^3$$
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $4$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{6}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 216 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного всему сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\frac{6}{7}$.$$k = \frac{6}{7}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{6}{7}\right)^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду. Линейный коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну восьмую объёма сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
После погружения детали объём, занимаемый водой и деталью, увеличился в 1,6 раза:$$V_\text{общ} = 10 \cdot 1{,}6 = 16\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности общего объёма после погружения и первоначального объёма воды:$$V_\text{детали} = 16 - 10 = 6\ \text{л}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Однородный шар диаметром 5 см весит 500 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из бір материала, поэтому их массы относятся как объёмы.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{V_2}{V_1}$$
- 2
Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$\dfrac{V_2}{V_1}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 40$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании.$$V_1 = V_2$$
- 2
Пусть радиус первого сосуда равен $r$, а высота воды во втором сосуде — $h_2$. Тогда$$\pi r^2 \cdot 40 = \pi (2r)^2 \cdot h_2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного сосуду. Отношение их высот равно $\dfrac{2}{7}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого отношения.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{2}{7}\right)^3$$
- 2
Найдём объём всего сосуда.$$V_{\text{сосуда}}=40\cdot\left(\frac{7}{2}\right)^3=40\cdot\frac{343}{8}=1715\text{ мл}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 3, а объём параллелепипеда равен 180. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда:$$4 \cdot 3 \cdot c = 180$$
- 2
Найдём третье ребро:$$c = \dfrac{180}{4 \cdot 3} = 15$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $\sqrt{34}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2=(\sqrt{34})^2-3^2=34-9=25,\quad b=5$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=7{,}5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 100 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму малого конуса, подобного всему сосуду. Линейные размеры малого конуса в 4 раза меньше.$$k=\dfrac{1}{4}$$
- 2
Объём малого конуса составляет куб линейного коэффициента от объёма всего сосуда.$$V_{\text{жидкости}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3V_{\text{сосуда}}=\dfrac{1}{64}V_{\text{сосуда}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 120$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды при переливании не изменяется. Основание сосуда имеет форму квадрата.
- 2
Сторона основания нового сосуда вдвое больше, поэтому площадь основания увеличивается в $2^2 = 4$ раза.$$S_2 = 4S_1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 22 см. Найдите…
- 1
Переведём длину стороны основания оригинала в сантиметры: $220\ \text{м} = 22000\ \text{см}$.
- 2
Копия уменьшена по линейным размерам в $\dfrac{22000}{22}=1000$ раз.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной 4, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $3\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h = SA = 3\sqrt{3}$$
- 2
Основание — правильный треугольник со стороной 4. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 13 и 4. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.
- 1
Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами 13 и 4. Найдём его площадь.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{13 \cdot 4}{2} = 26$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = 26 \cdot 5 = 130$$