При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $7\,^{\circ}\mathrm{C}$. Найдите температуру вещества в градусах Цельсия…
- 1
За 6 минут температура уменьшится на $6 \cdot 7 = 42\,^{\circ}\mathrm{C}$.$$6 \cdot 7 = 42$$
- 2
Так как вещество охлаждается, вычитаем это изменение из начальной температуры.$$-8 - 42 = -50$$
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 15 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…
- 1
Расстояния, пройденные автомобилем за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию: первый член равен 15 м, разность равна $-2$ м.$$a_1=15,\quad d=-2$$
- 2
Найдём пятый член прогрессии.$$a_5=a_1+4d=15+4\cdot(-2)=7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,2 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8…
- 1
Расстояния, пройденные поездом за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}2$ м и разностью $d = 0{,}6$ м.$$a_1 = 0{,}2,\quad d = 0{,}6,\quad n = 8$$
- 2
Найдём сумму первых восьми членов арифметической прогрессии.$$S_8 = \dfrac{8}{2}\left(2 \cdot 0{,}2 + (8-1) \cdot 0{,}6\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в тринадцатом ряду амфитеатра?
- 1
Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 19, разность равна 2.$$a_1 = 19,\quad d = 2$$
- 2
Найдём число мест в тринадцатом ряду по формуле арифметической прогрессии.$$a_{13} = a_1 + (13-1)d = 19 + 12 \cdot 2 = 43$$
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,3 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8…
- 1
Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}3$ м и разностью $d = 0{,}6$ м.$$a_1 = 0{,}3,\quad d = 0{,}6,\quad n = 8$$
- 2
Найдём сумму первых восьми членов прогрессии.$$S_8 = \dfrac{8}{2}\left(2 \cdot 0{,}3 + (8-1) \cdot 0{,}6\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 26 мест, а в восьмом ряду 30 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
- 1
Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём разность прогрессии по шестому и восьмому членам:$$d=\frac{a_8-a_6}{8-6}=\frac{30-26}{2}=2$$
- 2
Найдём количество мест в восемнадцатом ряду:$$a_{18}=a_6+(18-6)d=26+12\cdot2=50$$
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,2 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10…
- 1
Расстояния, пройденные поездом за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}5$ м и разностью $d = 0{,}2$ м.$$a_1 = 0{,}5, \quad d = 0{,}2, \quad n = 10$$
- 2
Найдём сумму первых 10 членов прогрессии.$$S_{10} = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 0{,}5 + (10-1) \cdot 0{,}2\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,2 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10…
- 1
Расстояние, пройденное за каждую секунду, образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}2$ м и разностью $d = 0{,}4$ м.$$a_1 = 0{,}2,\quad d = 0{,}4,\quad n = 10$$
- 2
Найдём сумму первых 10 членов арифметической прогрессии.$$S_{10} = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 0{,}2 + (10-1) \cdot 0{,}4\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 25 мест, а в седьмом ряду 37 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
- 1
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по третьему и седьмому членам:$$37 - 25 = (7-3)d$$
- 2
Вычислим разность прогрессии:$$d = \frac{37-25}{4} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
- 1
Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 18, разность равна 2, число членов равно 12.$$a_1 = 18,\quad d = 2,\quad n = 12$$
- 2
Найдём сумму первых 12 членов арифметической прогрессии.$$S_{12} = \dfrac{12}{2}\left(2 \cdot 18 + (12-1) \cdot 2\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
- 1
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=20$, разностью $d=2$ и числом членов $n=12$.$$a_1=20,\quad d=2,\quad n=12$$
- 2
Найдём сумму мест во всех рядах по формуле суммы арифметической прогрессии.$$S_n=\dfrac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике медиана равна высоте.$$m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение.$$m = \dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{10\cdot 3}{2} = 15$$
Медиана равностороннего треугольника равна $9\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника медиана выражается через сторону формулой:$$m=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение медианы:$$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 34$, $BM$ — медиана, $BM = 26$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
- 2
Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{34}{2} = 17$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 7$, $AC = 35$. Найдите $\tg B$.
- 1
В прямоугольном треугольнике относительно угла $B$ катет $AC$ является противолежащим, а катет $BC$ — прилежащим.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные длины катетов и вычислим значение тангенса.$$\tg B = \dfrac{35}{7} = 5$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{3}{4}$, $BC = 12$. Найдите $AC$.
- 1
Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, а прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 12 \cdot \dfrac{3}{4} = 9$$
В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру указанного угла, если известны две величины, приведённые в условии.
- 1
Медиана делит противоположную сторону треугольника на два равных отрезка. Используем это свойство вместе с суммой углов треугольника.$$a=b$$
- 2
Подставляем известные значения углов из условия и вычисляем искомую угловую меру.$$\alpha=24^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 142^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Используем сумму углов треугольника:$$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $97^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$C_{\text{внешн.}} + 97^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$C_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 97^\circ = 83^\circ$$
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $43^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Найдём второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ$$