В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если известны две указанные угловые величины.
- 1
По свойству биссектрисы соответствующие части угла равны, поэтому находим полный угол треугольника по указанной половине.$$\angle A = 2\angle BAD$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Подставляя данные условия, получаем искомый угол.$$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 117^\circ$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$$
В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру угла, если и.
- 1
Применяем свойства медианы и углов треугольника.
- 2
После подстановки данных условия и вычислений получаем искомую градусную меру угла.$$\alpha = 22^\circ$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 9^2 + 12^2$$
- 2
Вычислим длину гипотенузы:$$c = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $48^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, поэтому сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Найдём второй острый угол.$$\beta = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна 28, сторона $BC$ равна 19, сторона $AC$ равна 34. Найдите $MN$.
- 1
Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому отрезок $MN$ является его средней линией.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{34}{2} = 17$$
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $57^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Найдём второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 11 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов и вычислим площадь:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 6 = 33$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{7}{20}$, $AB = 40$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Выразим длину катета $AC$ и подставим известные значения.$$AC = AB \cdot \sin B = 40 \cdot \dfrac{7}{20} = 14$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{9}{7}$, $BC = 42$. Найдите $AC$.
- 1
Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, а прилежащий катет — $BC$. Поэтому$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём $AC$:$$\dfrac{9}{7} = \dfrac{AC}{42},\quad AC = 42 \cdot \dfrac{9}{7} = 54$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 26^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{26^\circ}{2} = 13^\circ$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 86^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{86^\circ}{2} = 43^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 12$, $BM$ — медиана, $BM = 11$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
- 2
Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$
Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.
- 1
Высота равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение стороны и упростим выражение:$$h=\dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{10\cdot3}{2}=15$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{2}{5}$, $AB = 10$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $BC$.$$\dfrac{2}{5} = \dfrac{BC}{10},\quad BC = \dfrac{2 \cdot 10}{5} = 4$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $142^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 142^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{6}$, $BC = 18$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 18 \cdot \dfrac{7}{6} = 21$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 21, сторона $BC$ равна 22, сторона $AC$ равна 28. Найдите $MN$.
- 1
Так как точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{8}{5}$, $BC = 20$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике относительно угла $B$ катет $AC$ является противолежащим, а катет $BC$ — прилежащим.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{8}{5} = \dfrac{AC}{20},\quad AC = 20 \cdot \dfrac{8}{5} = 32$$