В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 5 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…
- 1
Определим число тридцатиминутных интервалов:$$n = \dfrac{120}{30} = 4$$
- 2
Начальная масса равна 5 мг, а за каждый интервал масса умножается на 3:$$m = 5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405$$
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 18 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…
- 1
Определим количество двадцатиминутных интервалов за 60 минут:$$n = \frac{60}{20} = 3$$
- 2
За каждый интервал масса увеличивается в 3 раза, поэтому через 60 минут она составит:$$m = 18 \cdot 3^3 = 18 \cdot 27 = 486$$
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик…
- 1
Переведём высоту 5 см в метры: $5\text{ см} = 0{,}05\text{ м}$.
- 2
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом $h_1 = 2{,}4$ м и знаменателем $q = \dfrac{1}{2}$.$$h_n = 2{,}4 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
- 1
Определим число периодов, за каждый из которых масса уменьшается вдвое.$$n=\frac{40}{8}=5$$
- 2
Вычислим массу изотопа после пяти последовательных уменьшений вдвое.$$m=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{160}{32}=5\text{ мг}$$
В амфитеатре 21 ряд, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 25 мест, а в девятом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
- 1
Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по пятому и девятому членам:$$d=\frac{a_9-a_5}{9-5}=\frac{33-25}{4}=2$$
- 2
Последний ряд — двадцать первый. От пятого ряда до двадцать первого 16 шагов:$$a_{21}=a_5+(21-5)d=25+16\cdot2=57$$
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?
- 1
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 20, разность равна 2.$$a_1 = 20,\quad d = 2$$
- 2
Найдём количество мест в десятом ряду по формуле n-го члена арифметической прогрессии.$$a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = 20 + 9 \cdot 2 = 38$$
В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места. Сколько мест в последнем ряду…
- 1
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по значениям в 7-м и 11-м рядах:$$d = \dfrac{a_{11} - a_7}{11 - 7} = \dfrac{34 - 26}{4} = 2$$
- 2
От 7-го ряда до 23-го — 16 шагов. Поэтому количество мест в последнем ряду равно:$$a_{23} = a_7 + (23 - 7)d = 26 + 16 \cdot 2 = 58$$
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…
- 1
Определим число тридцатиминутных интервалов за 90 минут:$$90 : 30 = 3$$
- 2
За каждый интервал масса умножается на 3, поэтому через три интервала она составит:$$m = 13 \cdot 3^3 = 13 \cdot 27 = 351$$
В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
- 1
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по данным о пятом и восьмом рядах:$$d = \frac{a_8-a_5}{8-5} = \frac{36-27}{3} = 3$$
- 2
От пятого до четырнадцатого ряда девять переходов. Поэтому количество мест в последнем ряду равно:$$a_{14}=a_5+(14-5)d=27+9\cdot3=54$$
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,9 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10…
- 1
Расстояния, пройденные поездом за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}9$ м и разностью $d = 0{,}3$ м.$$a_1 = 0{,}9,\quad d = 0{,}3,\quad n = 10$$
- 2
Найдём сумму первых десяти членов прогрессии.$$S_{10} = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 0{,}9 + (10-1) \cdot 0{,}3\right) = 5(1{,}8 + 2{,}7) = 22{,}5$$
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…
- 1
Расстояния, пройденные за секунды, образуют арифметическую прогрессию: первый член равен $24$ м, разность равна $-4$ м, число членов равно $5$.$$a_1 = 24,\quad d = -4,\quad n = 5$$
- 2
Найдём сумму первых пяти членов прогрессии.$$S_5 = \dfrac{5(2 \cdot 24 + (5-1) \cdot (-4))}{2} = \dfrac{5(48-16)}{2} = 80$$
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $6\,^{\circ}\mathrm{C}$. Найдите температуру вещества в градусах Цельсия…
- 1
За 4 минуты температура уменьшится на $4 \cdot 6 = 24\,^{\circ}\mathrm{C}$.$$4 \cdot 6 = 24$$
- 2
Вычитаем это изменение из начальной температуры:$$T = -7 - 24 = -31$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
- 1
Определим число периодов, за которые масса уменьшается вдвое:$$42:7=6$$
- 2
Масса через 6 периодов равна:$$m=640\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{640}{64}=10\text{ мг}$$
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
- 1
Определим число периодов распада по 9 минут за 36 минут.$$36 : 9 = 4$$
- 2
За каждый период масса уменьшается вдвое, поэтому масса через 36 минут равна:$$m = 400 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 400 \cdot \dfrac{1}{16} = 25$$
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
- 1
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 18$, разностью $d = 3$ и числом членов $n = 11$.$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$
- 2
Найдём количество мест в последнем, одиннадцатом ряду:$$a_{11} = 18 + (11 - 1) \cdot 3 = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,8 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик…
- 1
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом $4{,}8$ м и знаменателем $\dfrac{1}{2}$.
- 2
Высота $n$-го прыжка определяется формулой:$$h_n = 4{,}8 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $7\,^{\circ}\mathrm{C}$. Найдите температуру вещества в градусах Цельсия…
- 1
За 5 минут температура уменьшится на $5 \cdot 7 = 35\,^{\circ}\mathrm{C}$.$$7 \cdot 5 = 35$$
- 2
Вычитаем это уменьшение из начальной температуры.$$T = -7 - 35 = -42$$
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…
- 1
Расстояния, пройденные автомобилем за последовательные секунды, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 24 и разностью $-3$.$$a_n = 24 - 3(n - 1)$$
- 2
До полной остановки автомобиль проходит положительные расстояния: от 24 м до 3 м. Это восемь членов прогрессии.$$n = 8, \quad a_8 = 24 - 3 \cdot 7 = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик…
- 1
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом $5{,}6$ м и знаменателем $\dfrac{1}{2}$. Высота, которую требуется сравнить с высотой прыжка, равна $20$ см $= 0{,}2$ м.$$h_n=5{,}6\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
- 2
Проверим высоты пятого и шестого прыжков.$$h_5=\dfrac{5{,}6}{2^4}=0{,}35\text{ м},\quad h_6=\dfrac{5{,}6}{2^5}=0{,}175\text{ м}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8…
- 1
Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}4$ м и разностью $d = 0{,}5$ м.$$a_1 = 0{,}4, \quad d = 0{,}5, \quad n = 8$$
- 2
Найдём сумму первых $8$ членов прогрессии.$$S_8 = \dfrac{8}{2}\left(2 \cdot 0{,}4 + (8-1) \cdot 0{,}5\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении