В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.$$x^2+16^2=34^2$$
- 2
Выразим неизвестный катет и вычислим его длину.$$x=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30$$
В треугольнике два угла равны $54^\circ$ и $58^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Вычислим третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 54^\circ - 58^\circ = 68^\circ$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.$$c^2 = a^2 + b^2$$
- 2
Подставим значения катетов и найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $AC = 8$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим значения длин катетов:$$\tg B = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$$
Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим известные значения стороны и высоты.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 17 = 9 \cdot 17 = 153$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 9$, $AC = 27$. Найдите $\tg B$.
- 1
Для угла $B$ противолежащим катетом является $AC$, а прилежащим катетом — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим значения длин катетов:$$\tg B = \dfrac{27}{9} = 3$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$, $BC = 20$, $\sin \angle ABC = \frac{5}{8}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \frac{1}{2}ab\sin\alpha$$
- 2
В данном треугольнике сторонами, заключающими угол $\angle ABC$, являются $AB$ и $BC$.$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\angle ABC$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 8$, $AB = 10$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — это $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения длин сторон.$$\cos B = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 10^2 + 24^2$$
- 2
Находим гипотенузу:$$c = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 48^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим значение угла $BAC$ и вычислим:$$\angle BAD = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 37^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Луч $AH$ лежит на стороне $AC$, поэтому $\angle BAH = \angle BAC = 37^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$, $BC = 10$, $\sin \angle ABC = \dfrac{8}{15}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \dfrac{8}{15} = 32$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 102^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{5}{16}$, $AB = 80$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$AB = 80$$
- 2
По определению синуса угла $B$ выразим сторону $AC$:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{3}{8}$, $AB = 64$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $BC$.$$\dfrac{3}{8} = \dfrac{BC}{64},\quad BC = 64 \cdot \dfrac{3}{8} = 24$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $151^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 151^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 151^\circ = 29^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 38$, $BM$ — медиана, $BM = 17$. Найдите $AM$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{38}{2} = 19$$
Сторона треугольника равна 24, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади треугольника через сторону и высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим значения стороны и высоты.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 19 = 12 \cdot 19 = 228$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $133^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$∠C + ∠C_{\text{внешн.}} = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$∠C_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 4$, $AB = 5$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.
- 2
Используем определение синуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении