Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 16^2 + 30^2$$
- 2
Вычислим сумму квадратов катетов:$$c^2 = 256 + 900 = 1156$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 11 = 22$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{4}{7}$, $BC = 35$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения.$$\dfrac{4}{7} = \dfrac{AC}{35}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади прямоугольного треугольника.$$S = \dfrac{ab}{2}$$
- 2
Подставим значения катетов и вычислим площадь:$$S = \dfrac{14 \cdot 5}{2} = 35$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 26, сторона $BC$ равна 39, сторона $AC$ равна 48. Найдите $MN$.
- 1
Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому $MN$ является средней линией.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 16$, $AB = 40$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и сократим дробь.$$\sin B = \dfrac{16}{40} = 0{,}4$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру указанного угла, если даны значения двух углов треугольника.
- 1
По свойству биссектрисы соответствующий угол делится на две равные части.$$\angle_1=\angle_2$$
- 2
Используем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, и подставляем данные условия.$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 20$, $BC = 7$, $\sin \angle ABC = \dfrac{2}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 \cdot \dfrac{2}{5} = 28$$
Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади треугольника через сторону и высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим известные значения стороны и высоты.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33 = 198$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 3$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, а прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные длины катетов:$$\tg B = \dfrac{3}{5} = 0.6$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 73^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому угол $AHB$ прямой.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Угол $BAH$ совпадает с углом $BAC$, поскольку точки $A$, $H$ и $C$ лежат на одной прямой.$$\angle BAH = \angle BAC = 73^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 24^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим значение угла $BAC$:$$\angle BAD = \frac{24^\circ}{2} = 12^\circ$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = a^2 + b^2$$
- 2
Подставим значения катетов:$$c^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета.$$x^2=41^2-9^2$$
- 2
Вычислим значение:$$x^2=1681-81=1600$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, угол $\angle BAC = 9^\circ$. Найдите угол $\angle ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Поэтому $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Точка $H$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $\angle BAH$ равен углу $\angle BAC$.$$\angle BAH = 9^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 58$, $BM$ — медиана, $BM = 37$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим значение длины стороны $AC$.$$AM = \dfrac{58}{2} = 29$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если величины заданных углов равны $66^\circ$ и $66^\circ$.
- 1
По определению биссектрисы две части угла равны.$$\angle 1=\angle 2=66^\circ$$
- 2
Искомый угол равен сумме двух равных частей.$$\angle=66^\circ+66^\circ=132^\circ$$
Медиана равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике медиана является высотой. Высота равна $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона треугольника.$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение медианы и найдём сторону:$$13\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad a=26$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 13$, $AB = 20$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащей стороной является $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим.$$\sin B = \dfrac{13}{20} = 0,65$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 28^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку точка $H$ лежит на стороне $AC$, угол $BAH$ совпадает с углом $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 28^\circ$$
- 2
Так как $BH$ — высота, она перпендикулярна $AC$, поэтому угол $AHB$ прямой.$$\angle AHB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении