Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Деление десятичных дробей

Найдите значение выражения $\dfrac{8{,}4}{1{,}2}$.

1. 1
   Умножим делимое и делитель на 10, чтобы преобразовать десятичные дроби в натуральные числа.$$\dfrac{8{,}4}{1{,}2}=\dfrac{84}{12}$$
2. 2
   Выполним деление.$$\dfrac{84}{12}=7$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{18}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Преобразуем первый корень:$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сложим подобные слагаемые:$$(\sqrt{18}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=(3\sqrt{2}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^8)^2}{a^{11}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе.$$(a^8)^2 = a^{16}$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{a^{16}}{a^{11}} = a^{16-11} = a^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^9 \cdot 12^{11}}{24^9}$.

1. 1
   Представим число $24$ в виде произведения $2 \cdot 12$ и применим свойство степени произведения.$$24^9 = (2 \cdot 12)^9 = 2^9 \cdot 12^9$$
2. 2
   Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим одинаковые множители.$$\dfrac{2^9 \cdot 12^{11}}{24^9} = \dfrac{2^9 \cdot 12^{11}}{2^9 \cdot 12^9} = 12^{11-9} = 12^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение корня из степени

Найдите значение выражения $\sqrt{9^4}$.

1. 1
   Преобразуем выражение под знаком корня как квадрат степени:$$\sqrt{9^4}=\sqrt{(9^2)^2}$$
2. 2
   Корень из квадрата неотрицательного числа равен самому числу:$$\sqrt{(9^2)^2}=9^2=81$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{50}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Упростим первый корень:$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним действия:$$(5\sqrt{2}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot 2=8$$

Отрицательная разность на прямой

На координатной прямой отмечены числа $p$, $q$ и $r$. Какая из разностей отрицательна?

1. 1
   По расположению точек на координатной прямой получаем порядок чисел:$$p<q<r$$
2. 2
   Разности $q-p$ и $r-q$ положительны, поскольку из большего числа вычитается меньшее.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Положение дроби на промежутке

Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{5}{7}$?

1. 1
   Представим дробь $\dfrac{5}{7}$ в виде десятичного приближения.$$\dfrac{5}{7} \approx 0{,}714$$
2. 2
   Число $0{,}714$ принадлежит промежутку от $0{,}7$ до $0{,}8$.$$0{,}7 < 0{,}714 < 0{,}8$$

Число на координатной прямой

Одно из чисел $\frac{10}{17}$, $\frac{11}{17}$, $\frac{13}{17}$ и $\frac{14}{17}$ отмечено на числовой прямой точкой $A$. Какое это число?

1. 1
   Вычислим приближённые значения предложенных дробей.$$\frac{10}{17}\approx0{,}588,\quad \frac{11}{17}\approx0{,}647,\quad \frac{13}{17}\approx0{,}765,\quad \frac{14}{17}\approx0{,}824$$
2. 2
   Точка $A$ расположена примерно в координате $0{,}76$, то есть между $0{,}7$ и $0{,}8$, ближе к $0{,}8$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение квадратного неравенства

Укажите решение неравенства $6x - x^2 < 0$.

1. 1
   Разложим левую часть неравенства на множители.$$6x-x^2=x(6-x)$$
2. 2
   Найдём нули множителей: $x=0$ и $x=6$. Отметим их на координатной прямой.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Дробь на отрезке

Какое из чисел $\dfrac{46}{7}$, $\dfrac{53}{7}$, $\dfrac{55}{7}$ и $\dfrac{61}{7}$ принадлежит отрезку $[8; 9]$?

1. 1
   Для принадлежности дроби отрезку $[8; 9]$ составим двойное неравенство.$$8 \leq \dfrac{n}{7} \leq 9$$
2. 2
   Умножим все части неравенства на $7$. Знак неравенства не изменится, поскольку $7 > 0$.$$56 \leq n \leq 63$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число на координатной прямой

Одно из чисел $\sqrt{37}$, $\sqrt{47}$, $\sqrt{50}$, $\sqrt{62}$ отмечено на прямой точкой $A$. Какое это число?

1. 1
   По рисунку точка $A$ расположена между числами 6 и 7, причём близко к 6.
2. 2
   Проверим варианты: $6^2=36$, $7^2=49$. Поэтому $\sqrt{37}$ немного больше 6, а $\sqrt{47}$ значительно ближе к 7.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оценка квадратного корня

Между какими числами заключено число $\sqrt{28}$?

1. 1
   Сравним подкоренное выражение с квадратами чисел 5 и 6.$$5^2 = 25 < 28 < 36 = 6^2$$
2. 2
   Из неравенства квадратов следует, что квадратный корень из 28 находится между 5 и 6.$$5 < \sqrt{28} < 6$$

Точка на координатной прямой

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{76}$. Какая это точка?

1. 1
   Определим, между какими целыми числами находится корень.$$8^2=64<76<81=9^2$$
2. 2
   Следовательно, $\sqrt{76}$ находится между $8$ и $9$. Более точно, $\sqrt{76}\approx 8{,}72$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число на координатной прямой

Одно из чисел $\sqrt{18}$, $\sqrt{24}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{32}$ отмечено на координатной прямой точкой $A$. Точка $A$ расположена между 5 и 6, немного правее отметки 5. Какое это число?

1. 1
   Точка $A$ находится между 5 и 6, поэтому искомое число должно быть больше 5 и меньше 6.$$25 < x^2 < 36$$
2. 2
   Проверим варианты. Значение $\sqrt{26}$ немного больше $\sqrt{25}=5$, поэтому оно соответствует положению точки $A$.$$\sqrt{26}\approx5{,}1$$

Точка на координатной прямой

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{85}$. Какая это точка?

1. 1
   Определим границы, между которыми находится корень:$$9^2=81<85<90{,}25=9{,}5^2$$
2. 2
   Следовательно, число $\sqrt{85}$ расположено между $9$ и $9{,}5$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Дробь на отрезке

Какое из чисел $\frac{58}{17}$, $\frac{72}{17}$, $\frac{87}{17}$ и $\frac{91}{17}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$?

1. 1
   Чтобы дробь $\frac{n}{17}$ принадлежала отрезку $[4; 5]$, составим двойное неравенство:$$4 \leq \frac{n}{17} \leq 5$$
2. 2
   Умножаем все части неравенства на 17:$$68 \leq n \leq 85$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число между дробями

Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{8}{13}$ и $\dfrac{12}{17}$?

1. 1
   Найдём приближённые значения дробей:$$\dfrac{8}{13} \approx 0{,}615,\qquad \dfrac{12}{17} \approx 0{,}706$$
2. 2
   Проверяем варианты. Число $0{,}7$ удовлетворяет двойному неравенству:$$0{,}615 < 0{,}7 < 0{,}706$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Знаки чисел на прямой

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из следующих неравенств верно?

1. 1
   На координатной прямой число $y$ расположено левее нуля, поэтому $y<0$. Число $x$ расположено правее нуля, поэтому $x>0$.$$y<0,\quad x>0$$
2. 2
   Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.$$xy<0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение квадратного неравенства

Укажите решение неравенства $81x^2 > 64$.

1. 1
   Разделим обе части неравенства на $81$:$$x^2 > \dfrac{64}{81}$$
2. 2
   Представим правую часть как квадрат дроби:$$x^2 > \left(\dfrac{8}{9}\right)^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении