Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Все диаметры одной окружности равны двум радиусам этой окружности, поэтому их длины равны.$$d = 2r$$
- 2
В параллелограмме противоположные стороны равны. Если две соседние стороны равны, то равны все четыре стороны, следовательно, параллелограмм является ромбом.$$AB = BC = CD = DA$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
В параллелограмме равные диагонали являются признаком прямоугольника. Такой параллелограмм не обязательно является ромбом, поэтому утверждение 1 ложно.
- 2
Сумма углов треугольника равна 180 градусам. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусам, значит сумма двух острых углов равна 90 градусам. Утверждение 2 истинно.$$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Утверждение 1 неверно: через одну заданную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых.
- 2
Утверждение 2 верно: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной около треугольника окружности.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Расстояние от центра окружности до любой точки окружности по определению является радиусом. Первое утверждение истинно.$$R = OA$$
- 2
Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту, а не одного основания на высоту.$$S = \dfrac{a+b}{2}h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Вертикальные углы равны по свойству вертикальных углов.$$\angle 1 = \angle 2$$
- 2
Пересечение двух окружностей зависит не только от их радиусов, но и от расстояния между центрами. Поэтому утверждение 2 неверно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника по признаку равенства треугольников: у них общая диагональ и равные пары противолежащих сторон параллелограмма.
- 2
У ромба равны противоположные углы, но соседние углы в общем случае не равны. Поэтому утверждение 2 неверно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Утверждение 1 неверно: равенство трёх углов соответствующих треугольников означает их подобие, но не гарантирует равенство длин сторон и самих треугольников.
- 2
Утверждение 2 верно: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Первое утверждение истинно по неравенству треугольника: длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон.$$c < a + b$$
- 2
В тупоугольном треугольнике только один угол тупой, поэтому второе утверждение ложно.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Поэтому хотя бы один из трёх углов не превышает среднего значения $60^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Ромб является параллелограммом. Его площадь равна произведению стороны, выбранной в качестве основания, на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = a h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Первое утверждение неверно: у произвольной трапеции боковые стороны не обязаны быть равными. Равные боковые стороны бывают у равнобедренной трапеции.
- 2
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому в нём есть два равных угла.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: в тупоугольном треугольнике центр описанной окружности находится вне треугольника.
- 2
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому утверждение 2 является истинным.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Проверим первое утверждение. Для существования треугольника сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей.$$1+2=3<4$$
- 2
Условие не выполняется, поэтому треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. Утверждение 1 истинно.
Ещё 2 шага — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: для сторон 1, 2 и 4 не выполняется неравенство треугольника, поскольку $1 + 2 < 4$.$$1 + 2 < 4$$
- 2
Второе утверждение верно: диагонали ромба, как параллелограмма, точкой пересечения делятся пополам.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Утверждение 1 является истинным: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.
- 2
Утверждение 2 неверно: равенство соответствующих сторон само по себе не гарантирует равенство четырёхугольников, поскольку их углы могут различаться.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Сумма внутренних углов любого треугольника, в том числе равнобедренного, равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Первое утверждение неверно: в тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому утверждение 1 является истинным.
- 2
В тупоугольном треугольнике тупым является только один угол, а два других угла острые. Утверждение 2 ложно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
В параллелограмме противоположные стороны равны. Если две соседние стороны равны, то равными становятся все четыре стороны, следовательно, параллелограмм является ромбом.$$a=b,\quad a=c,\quad b=d\Rightarrow a=b=c=d$$
- 2
Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Поэтому существует прямоугольник с таким свойством.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Утверждение 1 неверно: через одну точку плоскости можно провести бесконечно много прямых.
- 2
Прямоугольник является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Утверждение 2 истинно.$$AO = OC,\quad BO = OD$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Вписанный угол равен не центральному углу, а половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому утверждение 1 ложно.$$\alpha = \dfrac{\beta}{2}$$
- 2
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Поэтому любой квадрат является прямоугольником, и утверждение 2 истинно.$$90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Первое утверждение неверно: хорды одной окружности могут иметь разную длину. Равны только хорды, равноудалённые от центра.
- 2
Для существования треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Для данных сторон $1 + 2 = 3 < 4$, поэтому такого треугольника не существует.
Ещё 1 шаг — в полном решении