На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
- 1
По клетчатой сетке определяем горизонтальную и вертикальную составляющие расстояния между точками: $12$ и $5$ клеток.$$a = 12,\quad b = 5$$
- 2
Расстояние между точками находим по теореме Пифагора.$$d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{169} = 13$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
- 1
По рисунку основание параллелограмма равно 3 клеткам, а его высота равна 7 клеткам.$$a = 3,\quad h = 7$$
- 2
Используем формулу площади параллелограмма.$$S = ah = 3 \cdot 7 = 21$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.
- 1
По клеткам определяем длину горизонтального основания треугольника: $a = 6$.
- 2
Высота треугольника, перпендикулярная основанию, равна $h = 3$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.
- 1
По рисунку основание треугольника занимает 6 клеток, а высота равна 5 клеткам.$$a = 6,\quad h = 5$$
- 2
Находим площадь треугольника по формуле площади через основание и высоту.$$S = \dfrac{ah}{2} = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
- 1
Между точками по горизонтали — $4$ клетки, по вертикали — $3$ клетки.
- 2
По теореме Пифагора расстояние между точками равно:$$d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
- 1
Большая диагональ ромба расположена горизонтально.
- 2
По клеткам видно, что между концами большой диагонали укладывается 10 единичных отрезков.$$d = 10 \cdot 1 = 10$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.
- 1
По рисунку длина основания треугольника равна $5$ клеткам, а высота — $4$ клеткам. Так как сторона клетки имеет длину $1$, получаем $a = 5$ и $h = 4$.$$a = 5,\quad h = 4$$
- 2
Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
- 1
По рисунку определяем длины диагоналей ромба: вертикальная диагональ равна $6$, горизонтальная — $4$.$$d_1 = 6,\quad d_2 = 4$$
- 2
Используем формулу площади ромба.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 4}{2} = 12$$
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
- 1
По клетчатой сетке видно, что диаметр большего круга в 2 раза больше диаметра меньшего круга. Следовательно, радиус большего круга также в 2 раза больше.$$R_{\text{б}}=2R_{\text{м}}$$
- 2
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}}=\left(\dfrac{R_{\text{б}}}{R_{\text{м}}}\right)^2=2^2=4$$
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
- 1
По клетчатой бумаге определяем диаметры кругов: большего — 6 клеток, меньшего — 4 клетки. Поэтому их радиусы равны 3 и 2 клетки.$$R_1=3,\quad R_2=2$$
- 2
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.$$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}=2{,}25$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.
- 1
По чертежу точки $A$ и $B$ расположены на одной горизонтали.$$h=0$$
- 2
Расстояние между точками по горизонтали равно двум клеткам. Размер клетки равен 1.$$AB=2\cdot 1=2$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
- 1
По рисунку горизонтальное расстояние между точками равно 5 клеткам, а вертикальное — 12 клеткам.$$a = 5,\quad b = 12$$
- 2
По теореме Пифагора расстояние между точками равно:$$d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{169} = 13$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
- 1
По рисунку длина горизонтальной диагонали ромба равна $12$ клеткам, а вертикальной — $4$ клеткам.$$d_1 = 12,\quad d_2 = 4$$
- 2
Используем формулу площади ромба через его диагонали.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{12 \cdot 4}{2} = 24$$
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
По определению трапеция — это четырёхугольник, у которого основания параллельны. Поэтому первое утверждение истинно.
- 2
Второе утверждение неверно: тангенс острого угла может быть больше единицы, например $\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$.$$\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Проверим первое утверждение. Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому утверждение 1 истинно.
- 2
Во втором утверждении расстояния от точки пересечения окружностей до их центров равны радиусам окружностей. Эти радиусы могут быть разными, поэтому утверждение не всегда истинно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: у ромба равны только противоположные углы, а все четыре угла равны лишь у квадрата.
- 2
В прямоугольнике противоположные углы равны $90^\circ$, поэтому сумма противоположных углов равна $180^\circ$.$$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: смежные углы в сумме дают $180^\circ$, но они могут быть, например, оба прямыми.
- 2
Второе утверждение верно: если сторона квадрата равна $a$, то его площадь равна произведению двух смежных сторон.$$S = a \cdot a = a^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: в равнобедренном треугольнике только биссектриса, проведённая из вершины к основанию, одновременно является высотой. Биссектрисы при основании в общем случае высотами не являются.
- 2
Второе утверждение неверно: если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником. Прямоугольник не обязательно является ромбом.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Смежные углы имеют сумму $180^\circ$, но не обязаны быть равными. Утверждение 1 ложно.
- 2
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. Утверждение 2 истинно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Смежные углы имеют общую сторону, а сумма их градусных мер равна $180^\circ$. Равными они бывают только в частном случае, поэтому первое утверждение ложно.
- 2
У квадрата все стороны равны. Если длина стороны равна $a$, то его площадь равна произведению двух смежных сторон: $S = a \cdot a = a^2$.$$S = a^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении