Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 9.

1. 1
   В равнобедренной трапеции боковые стороны симметричны, поэтому горизонтальная проекция диагонали равна полусумме оснований.$$x=\frac{4+9}{2}=6{,}5$$
2. 2
   Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и её горизонтальной проекцией, катеты равны, поскольку $\tan 45^\circ=1$.$$h=x\tan 45^\circ=6{,}5\cdot 1=6{,}5$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $74^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому $\angle A = \angle D = 74^\circ$.$$\angle A = 74^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$, поэтому угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$ равен разности:$$\angle CAD = 74^\circ - 21^\circ = 53^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $18^\circ$ и $64^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   Обозначим искомый угол при большем основании через $x$. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол при меньшем основании равен $180^\circ - x$.
2. 2
   Угол между диагональю и большим основанием равен $x - 18^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 2 и 4, а высота равна 11. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{2+4}{2} \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$$

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания, отсекает на большем основании боковой отрезок, равный соответствующему боковому отрезку с другой стороны.$$x = 4$$
2. 2
   Больший из данных отрезков состоит из меньшего основания и равного ему бокового отрезка.$$7 = b + 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $74^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$. Найдём тупой угол:$$180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам.$$106^\circ : 2 = 53^\circ$$

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $8$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции с основаниями $8$ и $3$ боковые выступы большего основания равны.$$x=\dfrac{8-3}{2}=2{,}5$$
2. 2
   Горизонтальная проекция диагонали от левой нижней вершины до правой верхней вершины равна сумме выступа и меньшего основания.$$d_x=2{,}5+3=5{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 13$, $AB = 11$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Вычислим длину диагонали $BD$:$$BD = 2 \cdot 13 = 26$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $102^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Смежные углы параллелограмма являются дополнительными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

Диагональ прямоугольника образует угол $50^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагонали прямоугольника образуют с параллельными сторонами равные углы по $50^\circ$.
2. 2
   Тупой угол между диагоналями равен сумме этих углов:$$50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $74^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $26^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Так как трапеция равнобедренная, углы при большем основании $AD$ равны:$$\angle A = \angle D = 74^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $26^\circ$, поэтому она делит угол $A$ на углы $26^\circ$ и искомый угол между диагональю и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 74^\circ - 26^\circ = 48^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия трапеции

Основания трапеции равны 1 и 5, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. 1
   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
2. 2
   Подставим длины оснований в формулу.$$m = \dfrac{1+5}{2} = 3$$

Меньший угол трапеции

Один из углов прямоугольной трапеции равен $113^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольной трапеции два угла прямые и равны $90^\circ$. Два других угла являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$$
2. 2
   Угол $67^\circ$ меньше прямого угла $90^\circ$, поэтому это меньший угол трапеции.

Отрезки средней линии трапеции

Основания трапеции равны 17 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

1. 1
   Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, равных половинам оснований.$$l_1=\dfrac{17}{2},\quad l_2=\dfrac{19}{2}$$
2. 2
   Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$l_{\max}=\dfrac{19}{2}=9{,}5$$

Угол в ромбе

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $156^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому соседние углы supplementary:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам:$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{24^\circ}{2} = 12^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $66^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы трапеции, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Если один угол равен $66^\circ$, то больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $26^\circ$ и $84^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а углы при боковой стороне в сумме составляют $180^\circ$.
2. 2
   Разность углов, образованных диагональю с боковыми сторонами, равна $84^\circ-26^\circ=58^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $111^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы параллелограмма являются supplementary, то есть в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$
2. 2
   Угол $69^\circ$ меньше угла $111^\circ$, поэтому он является меньшим углом параллелограмма.

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $8\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны и упростим выражение.$$d = 8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 8\cdot 2 = 16$$

Угол параллелограмма по биссектрисе

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $21^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$, то есть $21^\circ$.$$\angle(\text{биссектриса }A, AD)=21^\circ$$
2. 2
   Биссектриса делит угол $A$ на два равных угла.$$\angle A=2\cdot21^\circ=42^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении