Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Угол в ромбе

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $56^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Ромб является параллелограммом, поэтому соседние углы supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам.$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{124^\circ}{2} = 62^\circ$$

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 11 и 14. Найдите длину основания $BC$.

1. 1
   Высота из вершины $C$ делит основание $AD$ на два отрезка длиной 11 и 14, поэтому $AD=25$.
2. 2
   В равнобедренной трапеции отрезки по краям большего основания, отсекаемые высотами, равны. Поэтому основание $BC$ равно разности данных отрезков.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренной трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $102^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому сумма двух меньших углов равна $102^\circ$.$$2\alpha = 102^\circ$$
2. 2
   Находим меньший угол:$$\alpha = \frac{102^\circ}{2} = 51^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $66^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $18^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому$$\angle A = \angle D = 66^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $18^\circ$, и искомый угол между $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = 66^\circ - 18^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 8 и 17. Найдите длину основания $BC$.

1. 1
   Опустим высоту из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции боковые проекции равны, поэтому один из отрезков основания равен сумме другого отрезка и основания $BC$.
2. 2
   Следовательно, длина основания $BC$ равна разности двух отрезков, на которые высота делит основание $AD$.$$BC = 17 - 8 = 9$$

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $5\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны и упростим выражение.$$d = 5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 5\cdot 2 = 10$$

Углы равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $94^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции соседние углы при боковой стороне являются supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол диагонали ромба

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $72^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому соседние углы supplementary: сумма углов $ABC$ и $BCD$ равна $180^\circ$.$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам.$$\angle ACD = \frac{1}{2}\angle BCD = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ$$

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   Высота, проведённая из конца меньшего основания, образует на большем основании два отрезка. В равнобедренной трапеции внешний отрезок с другой стороны равен меньшему из данных отрезков.$$a = 5 - 2$$
2. 2
   Вычисляем длину меньшего основания.$$a = 3$$

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $142^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$, поэтому острый угол равен:$$180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба делит острый угол пополам. Угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 8$, $BD = 14$, $AB = 5$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому отрезок $DO$ равен половине диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим значение диагонали $BD$:$$DO = \dfrac{14}{2} = 7$$

Средняя линия трапеции

Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. 1
   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований.$$m = \dfrac{8+18}{2} = 13$$

Площадь ромба по углу

Периметр ромба равен 12, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна:$$a = \frac{12}{4} = 3$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S = a^2\sin\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отрезки средней линии трапеции

Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

1. 1
   Диагональ трапеции, пересекая среднюю линию, делит её на отрезки, равные половинам оснований трапеции.$$l_1=\dfrac{2}{2}=1,\quad l_2=\dfrac{9}{2}=4{,}5$$
2. 2
   Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$l_{\max}=4{,}5$$

Угол между диагональю и основанием

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $83^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $51^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $C$ равен углу $D$.$$\angle C = \angle D = 83^\circ$$
2. 2
   Угол между боковой стороной $CD$ и меньшим основанием $BC$ является внутренним углом трапеции при вершине $C$. Диагональ $AC$ делит его на угол $51^\circ$ и искомый угол.$$\angle C = 97^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по диагоналям

Диагональ ромба равна 30, а другая диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения диагоналей.$$S = \dfrac{30 \cdot 6}{2} = 90$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $80^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $70^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём известны углы при вершинах $D$ и $C$.$$\angle D = 80^\circ,\quad \angle ACD = 70^\circ$$
2. 2
   Найдём угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$.$$\angle CAD = 180^\circ - 80^\circ - 70^\circ = 30^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $56^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle D = 56^\circ$$
2. 2
   Луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle CAD = \dfrac{56^\circ}{2} = 28^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол диагонали и основания

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $67^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $72^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Основания $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому внутренние односторонние углы при боковой стороне $CD$ supplementary:$$\angle C + \angle D = 180^\circ$$
2. 2
   Находим угол при вершине $C$:$$\angle C = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 11$, $AB = 10$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 11 = 22$$

Ещё 1 шаг — в полном решении