141ФИПИ 9A0CCB№ 23Күрделі Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 15$, $AC = 25$, $NC = 22$.
- 1
Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
- 2
Запишем отношение соответствующих сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
142ФИПИ 9D9F45№ 23Күрделі Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $5$ и $45$, $BD = 15$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
В трапеции основания параллельны, поэтому $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей этих параллельных прямых.$$BC \parallel AD$$
- 2
Следовательно, углы $CBD$ и $BDA$ равны как накрест лежащие.$$\angle CBD = \angle BDA$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
143ФИПИ 9F76F4№ 23Күрделі Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $2$ и $32$, $BD = 8$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
Так как $BC \parallel AD$, а $BD$ является секущей, то углы $CBD$ и $BDA$ равны как накрест лежащие углы.$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Вычислим отношения соответствующих сторон, прилежащих к равным углам.$$\frac{BC}{BD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
144ФИПИ A810F6№ 23Күрделі Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $5$ и $20$, $BD = 10$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Диагональ $BD$ является секущей этих прямых, поэтому накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Рассмотрим стороны, заключённые между равными углами в треугольниках $CBD$ и $BDA$. По условию $BC = 5$, $BD = 10$, $AD = 20$.$$\frac{BC}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
145ФИПИ B5852E№ 23Күрделі Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 14$, $DC = 56$, $AC = 40$.
- 1
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Они подобны по двум углам: углы при $M$ вертикальные, а углы при вершинах $A$ и $C$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$
- 2
Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:$$\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{DC}=\frac{14}{56}=\frac14$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
146ФИПИ BE9A49№ 23Күрделі Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $64$, $BD = 16$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Сравним стороны, прилежащие к этим углам:$$\frac{BC}{BD} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
147ФИПИ D294F5№ 23Күрделі Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 6 и 24, $BD = 12$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
Так как $ABCD$ — трапеция, её основания параллельны: $BC \parallel AD$.
- 2
Диагональ $BD$ является секущей параллельных прямых $BC$ и $AD$, поэтому углы, лежащие между сторонами $BC$, $BD$ и $BD$, $DA$, равны: $\angle CBD = \angle BDA$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
148ФИПИ D344E8№ 23Күрделі Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 22$, $AC = 55$, $NC = 36$.
- 1
Так как $MN \parallel AC$, углы при вершинах $B$ являются общими, а соответствующие углы треугольников $BMN$ и $BAC$ равны. Следовательно, эти треугольники подобны.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
- 2
Из подобия треугольников получаем пропорцию соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{22}{55} = \frac{2}{5}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
149ФИПИ E7E298№ 23Күрделі Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4{,}5$ и $18$, $BD = 9$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $BC$ и $AD$ параллельны. Прямая $BD$ пересекает эти параллельные прямые, поэтому накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Сравним стороны, прилежащие к этим углам:$$\frac{BC}{BD} = \frac{4{,}5}{9} = \frac{1}{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
150ФИПИ 2FEF51№ 24Күрделі В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны.
- 1
Поскольку $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, имеем $BB_1 \perp AC$. Поскольку $CC_1$ — высота, имеем $CC_1 \perp AB$.
- 2
Луч $AB_1$ лежит на прямой $AC$, а луч $AC_1$ лежит на прямой $AB$. С учётом перпендикулярности высот угол между прямыми $AB_1$ и $B_1C_1$ равен углу $ABC$: $\angle AB_1C_1 = \angle ABC$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде