Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d_1 d_2 \sin\alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…
- 1
Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади четырёхугольника.$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
- 2
Подставим известные значения.$$d_2 = \dfrac{2 \cdot 8{,}25}{11 \cdot \frac{1}{8}} = \dfrac{16{,}5 \cdot 8}{11} = 12$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 11 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов и вычислим площадь:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 6 = 33$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$, $BC = 10$, $\sin \angle ABC = \dfrac{8}{15}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \dfrac{8}{15} = 32$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$, $BC = 15$, $\sin \angle ABC = \dfrac{4}{9}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 \cdot \dfrac{4}{9} = 40$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим длины катетов:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 18$$
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
В первом утверждении равенство только двух соответствующих сторон недостаточно для равенства треугольников: не указан угол между ними или третья сторона.
- 2
В прямоугольном треугольнике сумма углов равна $180^\circ$, один угол равен $90^\circ$, поэтому сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
По определению трапеция — это четырёхугольник, у которого основания параллельны. Поэтому первое утверждение истинно.
- 2
Второе утверждение неверно: тангенс острого угла может быть больше единицы, например $\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$.$$\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Проверим первое утверждение. Прямоугольник является параллелограммом, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому утверждение 1 истинно.
- 2
Во втором утверждении расстояния от точки пересечения окружностей до их центров равны радиусам окружностей. Эти радиусы могут быть разными, поэтому утверждение не всегда истинно.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: смежные углы в сумме дают $180^\circ$, но они могут быть, например, оба прямыми.
- 2
Второе утверждение верно: если сторона квадрата равна $a$, то его площадь равна произведению двух смежных сторон.$$S = a \cdot a = a^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: в равнобедренном треугольнике только биссектриса, проведённая из вершины к основанию, одновременно является высотой. Биссектрисы при основании в общем случае высотами не являются.
- 2
Второе утверждение неверно: если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником. Прямоугольник не обязательно является ромбом.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Смежные углы имеют сумму $180^\circ$, но не обязаны быть равными. Утверждение 1 ложно.
- 2
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. Утверждение 2 истинно.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Смежные углы имеют общую сторону, а сумма их градусных мер равна $180^\circ$. Равными они бывают только в частном случае, поэтому первое утверждение ложно.
- 2
У квадрата все стороны равны. Если длина стороны равна $a$, то его площадь равна произведению двух смежных сторон: $S = a \cdot a = a^2$.$$S = a^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Все диаметры одной окружности равны двум радиусам этой окружности, поэтому их длины равны.$$d = 2r$$
- 2
В параллелограмме противоположные стороны равны. Если две соседние стороны равны, то равны все четыре стороны, следовательно, параллелограмм является ромбом.$$AB = BC = CD = DA$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
В параллелограмме равные диагонали являются признаком прямоугольника. Такой параллелограмм не обязательно является ромбом, поэтому утверждение 1 ложно.
- 2
Сумма углов треугольника равна 180 градусам. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусам, значит сумма двух острых углов равна 90 градусам. Утверждение 2 истинно.$$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Утверждение 1 қате: через одну заданную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых.
- 2
Утверждение 2 верно: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной около треугольника окружности.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Расстояние от центра окружности до любой точки окружности по определению является радиусом. Первое утверждение истинно.$$R = OA$$
- 2
Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту, а не одного основания на высоту.$$S = \dfrac{a+b}{2}h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Вертикальные углы равны по свойству вертикальных углов.$$\angle 1 = \angle 2$$
- 2
Пересечение двух окружностей зависит не только от их радиусов, но и от расстояния между центрами. Поэтому утверждение 2 неверно.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника по признаку равенства треугольников: у них общая диагональ и равные пары противолежащих сторон параллелограмма.
- 2
У ромба равны противоположные углы, но соседние углы в общем случае не равны. Поэтому утверждение 2 неверно.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Утверждение 1 неверно: равенство трёх углов соответствующих треугольников означает их подобие, но не гарантирует равенство длин сторон и самих треугольников.
- 2
Утверждение 2 верно: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Первое утверждение истинно по неравенству треугольника: длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон.$$c < a + b$$
- 2
В тупоугольном треугольнике только один угол тупой, поэтому второе утверждение ложно.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде