Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Окружность и вписанные фигуры» — с ответами

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $17:15$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…

1. 1
   Пусть $H$ — основание высоты $BH$, а $E$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$. Введём координаты: $H=(0,0)$, $B=(0,h)$, $A=(-x,0)$, где $h=BH$.
2. 2
   Тогда $AB=\sqrt{x^2+h^2}$. Направление биссектрисы угла $A$ является суммой единичных направляющих векторов лучей $AB$ и $AC$. Поэтому при пересечении с прямой $BH$ высота точки $E$ над основанием равна $\dfrac{hx}{AB+x}$. Следовательно…$$BE:EH=AB:x$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $78^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $A$ и $C$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$A + C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$C = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$$

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен стороне, делённой на $\sqrt{3}$.$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника.$$R = \dfrac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $41:40$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…

1. 1
   Обозначим через $H$ основание высоты из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения высоты $BH$ с биссектрисой угла $A$. Пусть $\angle BAD=\angle DAC=\alpha$. Тогда $\angle BAC=2\alpha$.
2. 2
   Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $BH$ и биссектрисой угла $A$. Из соотношений между их сторонами получаем:$$\frac{BD}{DH}=\frac{1}{2\cos^3\alpha-1}$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Угол, опирающийся на дугу

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 44^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle NBA$ — вписанный, поэтому дуга $NA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{NA}=2\angle NBA=2\cdot44^\circ=88^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{NB}=180^\circ-88^\circ=92^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона треугольника в окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $10$. Найдите $BC$, если $AC = 16$.

1. 1
   Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$$
2. 2
   Угол $ACB$, опирающийся на диаметр, прямой. Применим теорему Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина хорды окружности

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 10$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 5.

1. 1
   Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Для хорды $AB$ половина хорды равна $5$, а расстояние от центра до неё равно $12$.$$R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$
2. 2
   Следовательно, радиус окружности равен 13.$$R = 13$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона прямоугольного треугольника

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 25. Найдите $AC$, если $BC = 48$.

1. 1
   Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит, $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 25 = 50$$
2. 2
   Угол $ACB$, опирающийся на диаметр, прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $33^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина равна:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot38^\circ=76^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot33^\circ=66^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $39°$, угол $CAD$ равен $55°$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга $AD$, на которую опирается угол $ABD$, равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot 39°=78°$$
2. 2
   Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot 55°=110°$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, равен:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$$

Длина хорды окружности

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 18$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 9.

1. 1
   Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Для хорды $AB$ половина хорды равна $AB/2 = 9$.$$\left(\frac{AB}{2}\right)^2 + 12^2 = R^2$$
2. 2
   Найдём радиус окружности по теореме Пифагора.$$R^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225,\quad R = 15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $25:24$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…

1. 1
   Пусть $H$ — основание высоты из вершины $B$, а $D$ — точка пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BD:DH=25:24$. Обозначим $BD=25x$, $DH=24x$. Тогда $BH=49x$.$$BH=BD+DH=25x+24x=49x$$
2. 2
   Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно $DH=24x$. Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, расстояние от $D$ до прямой $AB$ также равно $24x$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\dfrac{8}{17}$. Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому диагональ прямоугольника равна 17.$$d=17$$
2. 2
   Из определения синуса угла между стороной и диагональю найдём один из катетов прямоугольного треугольника:$$b=d\sin\alpha=17\cdot\dfrac{8}{17}=8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона квадрата по радиусу

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $4\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

1. 1
   Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата.$$d = 2R$$
2. 2
   Диагональ квадрата выражается через его сторону.$$d = a\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина хорды окружности

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 12$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 8 и 6.

1. 1
   Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $12 : 2 = 6$.
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус:$$R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100,\quad R = 10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота трапеции

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Окружность касается обеих параллельных оснований трапеции, поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 16 = 32$$

Угол вписанного треугольника

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $167^\circ$. Ответ дайте…

1. 1
   Так как точки $O$ и $C$ находятся в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $AOB$.
2. 2
   Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $18\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.$$a=2r=2\cdot18\sqrt{2}=36\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d=a\sqrt{2}=36\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=72$$

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен стороне, делённой на $\sqrt{3}$.$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$$