Диагональ прямоугольника образует угол $47^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника образуют с параллельными противоположными сторонами равные углы по $47^\circ$.
- 2
Тупой угол между диагоналями равен сумме этих углов:$$47^\circ + 47^\circ = 94^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $50^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $50^\circ$, имеют величину:$$\alpha = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$$
- 2
Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $25^\circ$ и $73^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть $x$ — угол при большем основании, а $\alpha$ — угол между диагональю и большим основанием. Угол при меньшем основании равен $180^\circ-x$.$$x + (180^\circ-x)=180^\circ$$
- 2
Разложим углы при вершинах по диагонали. Для угла при большем основании получаем:$$x=25^\circ+\alpha$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $64^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём угол $ADC$ равен $64^\circ$, а угол $ACD$ равен $81^\circ$.
- 2
Найдём угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$:$$\angle CAD = 180^\circ - 64^\circ - 81^\circ = 35^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов прямоугольной трапеции равен $121^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$$
Сторона квадрата равна $10\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны и упростим выражение:$$d = 10\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 10\cdot 2 = 20$$
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 10$, $BD = 22$, $AB = 9$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим значение диагонали $BD$ и вычислим длину отрезка $DO$.$$DO = \dfrac{22}{2} = 11$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $9^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме $BC \parallel AD$, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$, то есть $9^\circ$.$$\angle DAB : 2 = 9^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 9^\circ = 18^\circ$$
Диагональ прямоугольника образует угол $63^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника симметричны относительно его оси, поэтому угол между ними, расположенный сверху или снизу, равен разности их направлений.
- 2
Если одна диагональ образует со стороной угол $63^\circ$, то острый угол между диагоналями равен:$$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 63^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов равнобедренной трапеции равен $113^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы, прилежащие к одной боковой стороне трапеции, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 113^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим меньший угол трапеции:$$\alpha = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $29^\circ$ и $77^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть угол при большем основании равен $x$. Так как трапеция равнобедренная, оба угла при большем основании равны $x$.
- 2
Рассмотрим треугольник, составленный из большего основания, боковой стороны и диагонали. Его углы равны $x - 29^\circ$, $x$ и $77^\circ$.$$(x - 29^\circ) + x + 77^\circ = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $45°$ и $40°$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на два угла, равных $40°$ и $45°.$$\angle A = 40° + 45° = 85°$$
- 2
Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен:$$\angle B = 180° - 85° = 95°$$
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $102^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы ромба supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам:$$\angle ACD = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{78^\circ}{2} = 39^\circ$$
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
- 1
В равнобедренной трапеции горизонтальные проекции обеих боковых сторон равны. Обозначим каждую из них через $x$.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой $5$ и углом $45^\circ$ при основании:$$\tan 45^\circ = \frac{5}{x}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
- 1
Высота, проведённая к стороне длиной 4, равна:$$h_1 = \dfrac{S}{a_1} = \dfrac{60}{4} = 15$$
- 2
Высота, проведённая к стороне длиной 20, равна:$$h_2 = \dfrac{S}{a_2} = \dfrac{60}{20} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $68^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 68^\circ$$
- 2
Так как $AC$ — биссектриса угла $BAD$, угол $CAD$ равен половине угла $BAD$.$$\angle CAD = \dfrac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $67^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $26^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 67^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $26^\circ$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 67^\circ - 26^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна $4\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение.$$d = 4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4\cdot 2 = 8$$
Один из углов ромба равен $127^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы supplementary, то есть в сумме равны $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим угол, смежный с углом $127^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
При проведении высоты из конца меньшего основания образуется прямоугольный треугольник. Из-за равенства боковых сторон равнобедренной трапеции выступы большего основания слева и справа равны.
- 2
Разность отрезков большего основания равна длине бокового выступа, а меньшее основание получается как разность данных отрезков:$$8 - 2 = 6$$