Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{120}{2} = 60$$
- 2
Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности:$$S = pr$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\sqrt{5}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Поскольку $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD=\dfrac{a}{2}$, а $AD=a$.
- 2
Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2=AD^2+OD^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $71^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $A$ и $C$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $23^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2\cdot23^\circ = 46^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$$
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 44. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Высота трапеции равна расстоянию между её основаниями. Основания касаются вписанной окружности, поэтому это расстояние равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 44 = 88$$
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $111^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 68^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ANB$ является прямым:$$\angle ANB = 90^\circ$$
- 2
В треугольнике $ABN$ найдём угол $NAB$:$$\angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $74^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол $AOB$ в два раза больше вписанного угла $ACB$, опирающегося на ту же дугу $AB$.$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot74^\circ=148^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ смежные.$$\angle AOD=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-148^\circ=32^\circ$$
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развёрнутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$$
- 2
Угол $ACB$ — вписанный, а угол $AOB$ — центральный; они опираются на одну и ту же дугу $AB$. Вписанный угол вдвое меньше центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{66^\circ}{2} = 33^\circ$$
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $79^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние углы.$$A+B=180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$B=180^\circ-79^\circ=101^\circ$$
Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$r = \dfrac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{14\cdot 3}{6} = 7$$
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 22. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции — параллельные прямые, к которым касается вписанная окружность. Расстояние между ними равно диаметру окружности и совпадает с высотой трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим радиус окружности:$$h = 2 \cdot 22 = 44$$
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 11$, $BC = 7$, $CD = 12$. Найдите $AD$.
- 1
В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём неизвестную сторону.$$AD = 11 + 12 - 7 = 16$$
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны, а вписанная окружность касается обоих оснований. Поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 42 = 84$$
Периметр треугольника равен 33, одна из сторон равна 7, а радиус вписанной в него окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр.$$S = r \cdot p$$
- 2
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{33}{2} = 16{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $3\sqrt{5}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $DO=\dfrac{a}{2}$, а $AD=a$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $ADO$ по теореме Пифагора:$$OA^2=AD^2+DO^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 36. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная в трапецию окружность касается обеих её оснований. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 36 = 72$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $53^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot53^\circ=106^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOD=180^\circ-106^\circ=74^\circ$$
Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника:$$r = \dfrac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{24}{6} = 4$$
Периметр треугольника равен 48, одна из сторон равна 18, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{P}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$
- 2
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r \cdot p$$
Ещё 1 шаг — в полном решении