Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Планиметрия» — с ответами

Так как $AB=BC$, треугольник симметричен относительно высоты из вершины $B$. Центр окружности, касающейся двух боковых сторон $AB$ и $BC$, лежит на биссектрисе угла $B$, то есть на оси симметрии треугольника.

Введём координаты: $A(-8,0)$, $C(8,0)$, $B(0,h)$, а $O(0,y)$. Здесь $AC=16$.

Так как равные хорды стягивают равные дуги, из равенства $AB = CD$ следует равенство дуг $\widehat{AB} = \widehat{CD}$, а из равенства $BC = DE$ — равенство дуг $\widehat{BC} = \widehat{DE}$.

Складывая равные дуги, получаем $\widehat{AB} + \widehat{BC} = \widehat{CD} + \widehat{DE}$. Следовательно, равны хорды, стягивающие эти дуги: $AC = CE$.

Равные хорды одной окружности находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Поэтому расстояния от точки $O$ до всех четырёх прямых, содержащих стороны трапеции, одинаковы. Обозначим это расстояние через $d$.

Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на одной из его биссектрис. Так как центр $O$ находится внутри трапеции, он лежит на внутренних биссектрисах всех её углов. Следовательно, все биссектрисы углов трапеции пересекаются в точке $O$.

Введём координатную систему: пусть $H=(0,0)$, $A=(0,a)$, а прямая $BC$ является осью абсцисс. Так как $\angle ACB=30^\circ$, в прямоугольном треугольнике $ACH$ имеем$$CH=\frac{AH}{\tan 30^\circ}=\sqrt{3}a$$

Следовательно, $C=(\sqrt{3}a,0)$. Единичный вектор луча $AC$ равен $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac12\right)$, а единичный вектор луча $AH$ равен $(0,-1)$. Поскольку $AM$ — биссектриса угла $CAH$, её направление совпадает с суммой этих…$$\left(\frac{\sqrt{3}}2,-\frac12\right)+(0,-1)=\left(\frac{\sqrt{3}}2,-\frac32\right)$$

Введём векторы $\vec{BA}=\vec a$ и $\vec{BC}=\vec c$. Так как $ABCD$ — ромб, то $|\vec a|=|\vec c|$. Выберем начало координат в точке $B$: $B=0$, $A=\vec a$, $C=\vec c$, $D=\vec a+\vec c$.

Из отношения $AM:MC=1:2$ следует, что точка $M$ делит диагональ $AC$ в отношении $1:2$ от точки $A$:$$M=\frac{2\vec a+\vec c}{3}$$

Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Он является частным случаем равнобедренной трапеции: его основания равны $a$, а боковые стороны равны $h$.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ в прямоугольнике пересекаются в его центре $O$. Прямая через $O$, параллельная основаниям, проходит посередине прямоугольника.

Так как $\angle BAC=120^\circ$ и $\angle BCA=45^\circ$, то $\angle ABC=15^\circ$. Разместим треугольник на координатной плоскости: $C=(0,0)$, $B=(6\sqrt{3},0)$. Луч $CA$ образует с осью абсцисс угол $45^\circ$.

По теореме синусов найдём длину $AC$:$$AC=\frac{BC\sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}=12\sin 15^\circ=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$

Введём координатную систему: $C=(0,0)$, катет $BC$ направим вдоль оси $Oy$, а катет $AC$ — вдоль оси $Ox$. Так как $BC=1$ и $AC=5$, получаем $B=(0,1)$ и $A=(5,0)$. Из условий $CM=BC$ и $CN=AC$ следуют координаты $M=(1,0)$ и $N=(0,-5)$.

Так как $CP$ — медиана треугольника $ABC$, точка $P$ является серединой $AB$: $P=(5/2,1/2)$. Так как $CQ$ — медиана треугольника $NCM$, точка $Q$ является серединой $NM$: $Q=(1/2,-5/2)$.

Так как $AM:MC=1:4$, выберем масштаб так, чтобы $AC=5$. Введём координаты: $A(0,0)$, $C(5,0)$, $M(1,0)$, $B\left(\frac52,\frac{5\sqrt3}{2}\right)$.$$AB=BC=AC=5$$

Пусть $E$ делит отрезок $AB$ в отношении $AE:AB=t$. Поскольку $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $BM$, имеем $EB=EM$. Из координат или из равенства квадратов расстояний получаем:$$25(1-t)^2=25t^2-5t+1$$

Расположим прямоугольник в координатной плоскости: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,b)$, $D(0,b)$, где $b=BC=9$. Диагональ $AC$ имеет угловой коэффициент $b/a$, поэтому прямая через $B$, перпендикулярная $AC$, имеет уравнение…

Точка пересечения этой прямой со стороной $AD$ имеет координаты $M\left(0,\dfrac{a^2}{b}\right)$.

Обозначим $\angle CAD=\alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $BC\parallel AD$, поэтому $\angle BCA=\angle CAD=\alpha$, а $\angle BAC=2\alpha$.

В треугольнике $ABC$ биссектриса $AL$ по теореме о биссектрисе делит сторону $BC$ в отношении $BL:LC=AB:AC$. Формула длины биссектрисы даёт $AL=\dfrac{2AB\cdot AC\cos\alpha}{AB+AC}$.

Так как $AB = BC = 13$ и $AC = 10$, высота из вершины $B$ к основанию $AC$ делит основание пополам. Поэтому высота равна $12$, поскольку $5^2 + 12^2 = 13^2$.

Введём координаты $A(0;0)$, $C(10;0)$, $B(5;12)$. Прямые $AB$ и $BC$ имеют уравнения $12x-5y=0$ и $12x+5y-120=0$ соответственно.