Найдите корень уравнения $4^{x-12} = \dfrac{1}{64}$.
- 1
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $4$:$$\dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{4^3} = 4^{-3}$$
- 2
Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием:$$x - 12 = -3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга $ADC$, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot103^\circ=206^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому найдём её величину.$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot42^\circ=84^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ — время (в мин.), $T_0=1380\ \text{К}$…
- 1
Подставим заданные значения в формулу температуры:$$T(t)=1380+165t-15t^2$$
- 2
Чтобы прибор не испортился, температура не должна превышать $1800\ \text{К}$:$$1380+165t-15t^2\leqslant1800$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
- 1
Найдём площадь треугольника по большей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 28 \cdot 15 = 210$$
- 2
Выразим ту же площадь через меньшую сторону 21 и искомую высоту $h$.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Угол $\angle ACO$ равен $57^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$. Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности…
- 1
Радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $CA$. Поэтому треугольник $AOC$ прямоугольный.$$OA \perp CA,\quad \angle OAC = 90^\circ$$
- 2
Найдём угол при центре окружности. Лучи $OB$ и $OC$ совпадают, поэтому $\angle AOB = \angle AOC$.$$\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $\dfrac{81^{2{,}6}}{9^{3{,}7}}$.
- 1
Представим $81$ и $9$ как степени числа $3$:$$81 = 3^4,\quad 9 = 3^2$$
- 2
Применим правило возведения степени в степень:$$\frac{81^{2{,}6}}{9^{3{,}7}} = \frac{(3^4)^{2{,}6}}{(3^2)^{3{,}7}} = \frac{3^{10{,}4}}{3^{7{,}4}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен . Найдите угол . Жауап дайте в градусах.
- 1
В условии отсутствуют обозначения углов и числовое значение заданного угла, поэтому вычислить ответ однозначно невозможно.
- 2
Если углы являются противоположными, их сумма равна $180^\circ$, поэтому искомый угол вычисляется по формуле:$$x = 180^\circ - \alpha$$
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $70^\circ$. Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому найдём угол $A$:$$A=90^\circ-B=90^\circ-70^\circ=20^\circ$$
- 2
Биссектриса прямого угла $C$ образует с каждым из катетов угол $45^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $58^\circ$, угол $CAD$ равен $39^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABD$ и угол $CAD$ опираются соответственно на дуги $AD$ и $CD$.
- 2
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому он равен сумме углов, опирающихся на дуги $AD$ и $CD$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle CAD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $\dfrac{2\sin 70^\circ}{\cos 35^\circ \cdot \cos 55^\circ}$.
- 1
Преобразуем синус двойного угла:$$\sin70^\circ=\sin(2\cdot35^\circ)=2\sin35^\circ\cos35^\circ$$
- 2
Выразим косинус угла $55^\circ$ через синус угла $35^\circ$:$$\cos55^\circ=\cos(90^\circ-35^\circ)=\sin35^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 9$, $CD = 17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.
- 1
Если в четырёхугольник вписана окружность, суммы длин его противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Периметр четырёхугольника можно выразить через сумму известных противоположных сторон:$$P = 2(AB + CD)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 24 \cdot 18 = 432$$
- 2
Выразим высоту, опущенную на большую сторону 27.$$h = \dfrac{S}{27} = \dfrac{432}{27} = 16$$
Найдите значение выражения $8\sqrt{3}\cos^2\dfrac{\pi}{12}-4\sqrt{3}$.
- 1
Применим формулу понижения степени косинуса:$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$$
- 2
Для $\alpha=\frac{\pi}{12}$ имеем:$$\cos^2\frac{\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите корень уравнения $\log_{3}(x+4)=\log_{3}16$.
- 1
Основания логарифмов одинаковы и равны $3$, поэтому приравниваем аргументы:$$x+4=16$$
- 2
Решаем полученное линейное уравнение:$$x=16-4=12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x}=81$.
- 1
Преобразуем левую часть и представим $81$ как степень числа $3$.$$\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x}=3^{-(3-x)}=3^{x-3},\quad 81=3^4$$
- 2
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели.$$x-3=4$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 30, вписана окружность, $AB = 9$. Найдите длину стороны $CD$.
- 1
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Следовательно, периметр равен удвоенной сумме двух противоположных сторон:$$P = 2(AB + CD)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $\dfrac{(3\sqrt{8})^2}{6}$.
- 1
Возведём произведение в квадрат:$$(3\sqrt{8})^2=3^2\cdot(\sqrt{8})^2=9\cdot8=72$$
- 2
Разделим полученное значение на 6:$$\dfrac{72}{6}=12$$
Площадь треугольника $ABC$ равна 60. $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь трапеции $ABED$.
- 1
Так как $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$, точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$. Поэтому треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{1}{2}$$
- 2
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия. Найдём площадь треугольника $CDE$.$$S_{CDE} = S_{ABC} \cdot k^2 = 60 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 15$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 28. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.
- 1
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD$. Так как $E$ — середина стороны $AD$, то $DE = \dfrac{AD}{2}$.$$BC = AD,\quad DE = \frac{AD}{2}$$
- 2
Трапеция $BCDE$ и параллелограмм $ABCD$ имеют одну и ту же высоту. Отношение площадей равно отношению средней линии трапеции к основанию параллелограмма.$$\frac{S_{BCDE}}{S_{ABCD}} = \frac{BC + DE}{2AD} = \frac{AD + \frac{AD}{2}}{2AD} = \frac{3}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $8\log_{5}\sqrt[4]{5}$.
- 1
Представим арифметический корень в виде степени:$$\sqrt[4]{5}=5^{\frac{1}{4}}$$
- 2
Применим свойство логарифма степени:$$\log_{5}5^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде