Площадь треугольника $ABC$ равна 24, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь треугольника $CDE$.
1
Поскольку $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$, она параллельна $AB$ и равна половине этой стороны. Поэтому треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия.$$\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $32^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
1
Угол $ACB$ — вписанный и опирается на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше:$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$$
2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными:$$\angle AOD = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $61^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2\cdot61^\circ = 122^\circ$$
2
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ образуют развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$