Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Рассмотрим число $2352$. Проверим произведение его цифр:$$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 = 60$$

Сумма цифр числа равна $12$, поэтому число делится на $3$.$$2 + 3 + 5 + 2 = 12$$

Рассмотрим число в диапазоне от 5500 до 6000. Его первая цифра равна 5.

Проверим число 5688: сумма его цифр равна 27, поэтому оно делится на 9.$$5+6+8+8=27$$

Так как число делится на $90 = 9 \cdot 10$, оно должно делиться одновременно на $9$ и на $10$.

Делимость на $10$ означает, что последняя цифра числа равна $0$.

Разложим число 3440 на множители так, чтобы цифры множителей были отметками от 2 до 5, а всего использовалось пять цифр:$$3440 = 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 43$$

Получаются пять текущих отметок: $4$, $4$, $5$, $4$ и $3$.$$4+4+5+4+3=20$$

Число, кратное 12, должно одновременно делиться на 3 и на 4.

Рассмотрим число 63636. Разности соседних цифр равны 3: $|6-3|=|3-6|=|6-3|=|3-6|=3$.

Наибольшее трёхзначное число — 999, но оно не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5.

Ближайшее меньшее число, которое оканчивается на 0, — 990. Сумма его цифр равна 18, поэтому оно делится на 3.$$9 + 9 + 0 = 18$$

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и на 4.

Рассмотрим число 32364, полученное вычёркиванием цифр 5, 4 и 2 из исходного числа 32365427.

Ищем число в диапазоне от 3501 до 3999. Подберём число с суммой цифр 24 и проверим делимость на 24.

Число $3696$ удовлетворяет условию на сумму цифр:$$3+6+9+6=24$$

Разложим число 690 на множители:$$690 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23$$

Так как оценки выписаны подряд, число $23$ может быть образовано двумя последними оценками. Тогда последовательность пяти оценок имеет вид $2, 3, 5, 2, 3$, а произведение получившихся чисел равно $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 = 690$.

Возьмём натуральное число $n=30$. Его куб равен:$$30^3=27000$$

Разделим куб на $15$:$$\dfrac{27000}{15}=1800$$

Число, делящееся на $36$, должно делиться на $4$ и на $9$.

У числа $2088$ сумма цифр равна $2+0+8+8=18$, поэтому оно делится на $9$.

Разложим произведение на множители:$$3495 = 15 \cdot 233$$

По записи чисел восстанавливается последовательность из пяти отметок, сумма которых равна 14.

Так как $30=3\cdot10$, число должно делиться и на 3, и на 10.

Выберем шестизначное число, состоящее только из цифр 2 и 0 и оканчивающееся цифрой 0: $202020$.

Число делится на 30, если оно делится на 3 и на 10.

Для делимости на 10 последняя цифра получившегося числа должна быть 0. Выберем из исходного числа последовательность цифр 4, 1, 5, 6, 5, 0, вычеркнув остальные три цифры.

Число при делении на 3, 4 и 5 даёт остаток 1, поэтому число, уменьшенное на 1, делится на каждое из чисел 3, 4 и 5.$$n-1 \vdots 3,\quad n-1 \vdots 4,\quad n-1 \vdots 5$$

Наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 5 равно 60. Значит, искомое число имеет вид:$$n=60k+1$$

Так как $60 = 3 \cdot 20$, получившееся число должно делиться на 3 и на 20.

Для делимости на 20 число должно оканчиваться на 0 или 20, 40, 60, 80. Выберем цифры в исходном порядке так, чтобы последней цифрой остался 0.

Разложим произведение на простые множители:$$1150 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 23$$

Так как все отметки являются цифрами от $2$ до $5$, множитель $23$ может образоваться только при объединении двух отметок $2$ и $3$ в число $23$. Оставшиеся множители $2$, $5$ и $5$ соответствуют трём отдельным отметкам.

Рассмотрим число $1368$: оно находится между $1340$ и $1640$, а его цифры $1$, $3$, $6$ и $8$ различны и не равны нулю.

Проверим делимость числа на каждую его цифру.$$1368:1=1368,\quad 1368:3=456,\quad 1368:6=228,\quad 1368:8=171$$

Рассмотрим число $210$. Оно является трёхзначным, и все его цифры различны.

Проверим кратность числа $70$:$$210 = 70 \cdot 3$$

Обозначим цифры трёхзначного числа $A$ через $a$, $b$, $c$. Если $c\ne9$, то при прибавлении 1 сумма цифр увеличивается на 1. Две такие суммы не могут одновременно делиться на 8, поэтому $c=9$.

При $c=9$ и $b\ne9$ сумма цифр числа $A$ равна $a+b+9$, а сумма цифр числа $A+1$ равна $a+b+1$. Условия делимости на 8 дают $a+b+1\equiv0\pmod 8$.