Один мастер может выполнить некоторый заказ за 40 часов, а другой выполняет этот же заказ за 24 часа. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
- 1
Производительность первого мастера составляет $\dfrac{1}{40}$ заказа в час, а второго — $\dfrac{1}{24}$ заказа в час.$$q_1=\dfrac{1}{40},\quad q_2=\dfrac{1}{24}$$
- 2
При совместной работе производительности складываются.$$q=\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{3}{120}+\dfrac{5}{120}=\dfrac{8}{120}=\dfrac{1}{15}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 14\pi$.
- 1
Подставим значение суммы углов в формулу:$$(n - 2)\pi = 14\pi$$
- 2
Разделим обе части уравнения на $\pi$:$$n - 2 = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Длины двух рек относятся как 4:11, при этом одна из них длиннее другой на 70 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.
- 1
Разность чисел частей, соответствующих длинам рек, равна:$$11 - 4 = 7$$
- 2
На одну часть приходится:$$70 : 7 = 10\text{ км}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуд, содержащий 4 кг 18-процентного водного раствора вещества, добавили 5 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в исходном растворе.$$m = 4 \cdot 0{,}18 = 0{,}72\text{ кг}$$
- 2
При добавлении воды масса вещества не изменяется, а масса раствора становится равной 9 кг.$$m_{\text{раствора}} = 4 + 5 = 9\text{ кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение выражения $(3 \cdot 10^{-5}) \cdot (2{,}5 \cdot 10^2)$.
- 1
Перемножим числовые коэффициенты и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием.$$(3 \cdot 2{,}5) \cdot 10^{-5+2}$$
- 2
Выполним вычисления.$$7{,}5 \cdot 10^{-3} = 0{,}0075$$
Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Абонент предполагает, что общая длительность разговоров составит 700 минут в месяц и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный…
- 1
Стоимость повременного тарифа при 700 минутах разговора:$$0{,}4 \cdot 700 = 280$$
- 2
При комбинированном тарифе первые 360 минут входят в абонентскую плату. Оставшиеся минуты оплачиваются отдельно:$$170 + 0{,}3 \cdot (700 - 360) = 170 + 102 = 272$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 111^\circ$, угол $2 = 18^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол между первой секущей и параллельными прямыми является смежным с углом $1$.$$180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$
- 2
Угол $2$ равен острому углу наклона второй секущей к параллельным прямым.$$\angle 2 = 18^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м?
- 1
Вычислим площадь стены:$$S_1 = 3{,}4 \cdot 4{,}6 = 15{,}64\ \text{м}^2$$
- 2
Переведём сторону плитки в метры и найдём её площадь:$$20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м},\quad S_2 = 0{,}2^2 = 0{,}04\ \text{м}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{6}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 3. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, поэтому $AM = MC$ и $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{1}{2}$.$$AM=MC,\quad \frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$$
- 2
Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол при вершине $A$. Их площади относятся как произведение отношений сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AM}{AC}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 38 миль в час? Считайте…
- 1
Переведём 38 миль в метры:$$38 \cdot 1609 = 61142\ \text{м}$$
- 2
Переведём метры в километры:$$61142 : 1000 = 61{,}142\ \text{км/ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите корень уравнения $\log_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{2}x+3\right)=-1$.
- 1
Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$\frac{1}{2}x+3=\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$$
- 2
Вычисляем значение степени:$$\frac{1}{2}x+3=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В магазине дизайнерских сумок проходит акция. При покупке одновременно трёх сумок: большой, средней и маленькой, можно получить скидку 20% на каждую. Маленькая сумка стоит 3000 рублей, цена средней…
- 1
Найдём цену средней сумки:$$3000 \cdot 1{,}5 = 4500$$
- 2
Найдём цену большой сумки:$$4500 \cdot 1{,}5 = 6750$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Фирма «Лучший чай» специализируется на фасовке чая по заказу клиентов. Чайная композиция «Тонус», состоящая из листьев чёрного чая, мяты и жасмина, получается смешиванием этих листьев по массе в…
- 1
Сумма частей в отношении равна $9+2+1=12$. На мяту приходится 2 части.
- 2
Если 2 части мяты весят 16 граммов, то одна часть весит $16:2=8$ граммов.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 50$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \frac{AB}{2} = \frac{50}{2} = 25$$
В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 5$, $AC = \sqrt{19}$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Так как $ABCD$ — ромб, его стороны равны: $AB = BC = 5$. В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB = BC = 5$ и $AC = \sqrt{19}$.$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$$
- 2
Подставим известные значения и найдём косинус угла $BAC$.$$25 = 25 + 19 - 10\sqrt{19}\cos \angle BAC,\quad \cos \angle BAC = \frac{\sqrt{19}}{10}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 30. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$x = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$$
- 2
Наименьшая средняя линия соединяет середины гипотенузы и меньшего катета, поэтому равна половине меньшего катета:$$m = \frac{18}{2} = 9$$
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 22^\circ$, $\angle 2 = 138^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, острый угол между второй секущей и прямой $n$ является смежным с углом $\angle 2$.$$180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$$
- 2
Угол $\angle 3$ равен разности острого угла $42^\circ$ и угла $\angle 1$.$$\angle 3 = 42^\circ - 22^\circ = 20^\circ$$
Длины двух рек относятся как 5:6, при этом одна из них длиннее другой на 10 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.
- 1
Обозначим общий множитель отношений длин рек через $x$. Тогда длины рек равны $5x$ и $6x$ километров.$$5x \text{ и } 6x$$
- 2
Разность длин равна 10 км:$$6x - 5x = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На поверхности глобуса фломастером проведены 21 параллель и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…
- 1
21 параллель делит поверхность глобуса на 22 кольцевые полосы: между параллелями и между каждой крайней параллелью и полюсом.$$21 + 1 = 22$$
- 2
15 меридианов проходят от Северного до Южного полюса и делят каждую из 22 полос на 15 частей.$$22 \cdot 15 = 330$$
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по семь квартир. Петя живёт в квартире № 52. На каком этаже живёт Петя?
- 1
На первых семи этажах расположены квартиры с номерами от 1 до 49, поскольку $7 \cdot 7 = 49$.$$7 \cdot 7 = 49$$
- 2
Квартира № 52 находится после квартиры № 49, значит, она расположена на следующем этаже.$$52 - 49 = 3$$