Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обмен золотых и серебряных монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную; за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, в которых за 5 золотых монет получают 7 серебряных и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 10 серебряных монет получают 7 золотых и одну медную.$$x+y=60$$
2. 2
   Всего появилось 60 медных монет, поэтому общее число операций равно 60. Золотых монет в конце не осталось, значит, количество золотых монет, полученных во вторых операциях, равно количеству золотых монет, потраченных в первых.$$7y=5x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Распил досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Каждый поперечный распил увеличивает общее количество кусков на один. Поэтому при $n$ досках после 11 распилов получится $n + 11$ кусков.$$n + 11 = 16$$
2. 2
   Решаем уравнение:$$n = 16 - 11 = 5$$

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $3 \times 8$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 22 пары соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 3 строк имеется 7 горизонтальных пар соседних клеток, поэтому горизонтальных пар всего:$$3 \cdot 7 = 21$$
2. 2
   В каждом из 8 столбцов имеется 2 вертикальные пары соседних клеток, поэтому вертикальных пар всего:$$8 \cdot 2 = 16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? На всех…

1. 1
   Пусть в одном подъезде находится $N$ квартир. Тогда квартира № 462 в седьмом подъезде должна удовлетворять условию:$$6N < 462 \leq 7N$$
2. 2
   Так как в подъезде 7 этажей и на каждом этаже одинаковое число квартир, $N$ должно делиться на 7. Из неравенств получаем $66 \leq N \leq 77$. Единственное подходящее число, кратное 7, — $N = 70$.$$N = 70$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Восстановление натурального числа

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно 6, 7 или 8. Пусть $x$ — загаданное число.$$Ax+B-C=249$$
2. 2
   Проверяем подходящее сочетание коэффициентов: $A=8$, $B=7$, $C=6$. Получаем:$$8x+7-6=249$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Задача о совместной работе

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть Маша ест печенье со скоростью $v$ печений в единицу времени, а время, в течение которого она ела варенье, равно $t$. Обозначим через $u$ время, в течение которого она ела печенье.
2. 2
   Медведь ест в три раза быстрее Маши. Маша съела варенья $vt$, а Медведь — $3vu$. По условию варенья съедено поровну.$$vt=3vu$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже в любом подъезде одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше…

1. 1
   Обозначим число этажей через $x$, число квартир на этаже через $y$, а число подъездов через $z$. Тогда $x > y > z > 1$ и $xyz = 186$.$$xyz = 186$$
2. 2
   Разложим число 186 на простые множители:$$186 = 2 \cdot 3 \cdot 31$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 7 и 8. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны $2(a+c)=3$, $2(b+c)=7$, $2(b+d)=8$ и $2(a+d)=x$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 30. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Произведения площадей противоположных прямоугольников равны:$$12 \cdot 30 = 15 \cdot x$$
2. 2
   Находим площадь неизвестного прямоугольника:$$x = \frac{12 \cdot 30}{15} = 24$$

Определение номера подъезда

В доме, в котором живёт Дина, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Дина живёт в квартире № 75. В каком подъезде живёт Дина?

1. 1
   Найдём число квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 6 = 54$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 54. Квартира № 75 расположена во втором подъезде, поскольку $54 < 75 \leq 2 \cdot 54$.$$75 - 54 = 21$$

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 70 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Обозначим через $x$ число верных ответов, через $y$ — число неправильных ответов, через $z$ — число вопросов без ответа. Тогда $x+y+z=70$, причём $y\geq 1$ и $z\geq 1$.$$x+y+z=70$$
2. 2
   По условию о набранных очках получаем:$$9x-17y=153$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 10, 14 и 20. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть скорость Маши при еде любого продукта равна $v$, а скорость Медведя — $3v$. Обозначим время до обмена блюдами через $t_1$, а после обмена — через $t_2$.$$v_{вар} = v,  v_{медведя} = 3v$$
2. 2
   Маша ела варенье в течение $t_1$, а Медведь — в течение $t_2$. Так как варенья они съели поровну:$$v t_1 = 3v t_2 \Rightarrow t_1 = 3t_2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём суммарное число договоров, если считать каждый договор со стороны каждой страны.$$4 \cdot 5 + 6 \cdot 3 = 20 + 18 = 38$$
2. 2
   Каждый договор при таком подсчёте учтён дважды: для каждой из двух стран, его подписавших.$$N = \dfrac{38}{2} = 19$$

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   У десяти столбов всего насчитывается $10 \cdot 8 = 80$ отходящих концов проводов.$$10 \cdot 8 = 80$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому каждый провод учтён дважды.$$N = \dfrac{80}{2} = 40$$

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: голубая, зелёная и жёлтая. Слева от зелёной вазы 27 роз, справа от голубой вазы 23 розы. Всего в вазах 42 розы. Сколько роз в жёлтой вазе?

1. 1
   Сумма 27 и 23 учитывает все розы в трёх вазах, а розы из жёлтой вазы учитываются дважды: они находятся и слева от зелёной, и справа от голубой.$$27 + 23 = 42 + x$$
2. 2
   Находим количество роз в жёлтой вазе:$$x = 27 + 23 - 42 = 8$$

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 2, их произведение увеличилось бы на 44. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

1. 1
   Обозначим два множителя через $a$ и $b$. По условию при увеличении каждого на 2 прирост произведения равен 44:$$(a+2)(b+2)-ab=44$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+2a+2b+4-ab=44;\quad 2a+2b=40;\quad a+b=20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество концов проводов у всех столбов:$$10 \cdot 5 = 50$$
2. 2
   Каждый провод имеет два конца, поэтому при подсчёте по столбам каждый провод учтён дважды:$$50 : 2 = 25$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран две подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся восьми — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём общее число участий стран в договорах:$$2 \cdot 6 + 8 \cdot 5 = 12 + 40 = 52$$
2. 2
   Каждый договор посчитан дважды — по одному разу для каждой из двух стран. Поэтому число договоров равно:$$\dfrac{52}{2} = 26$$

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по семь квартир. Петя живёт в квартире № 67. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На первых девяти этажах расположено $9 \cdot 7 = 63$ квартиры.$$9 \cdot 7 = 63$$
2. 2
   Квартира № 67 находится после квартиры № 63, значит, она расположена на десятом этаже.$$67 > 63$$