ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь…

1. 1
   Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. Для четырёх частей исходного прямоугольника произведения площадей противоположных частей равны.$$12 \cdot 30 = 18x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \dfrac{12 \cdot 30}{18} = 20$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 70 км, между А и В — 60 км, между В и Г — 35 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Обозначим длину кольцевой дороги через $L$. Отложим от точки А дугу до точки В длиной $60$ км, а до точки Г — в противоположном направлении дугу длиной $45$ км. Тогда дуга от В до Г через противоположную часть кольца имеет длину…$$L-105=35$$
2. 2
   Находим длину кольцевой дороги:$$L=35+105=140$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 7 и 11. Найдите…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$. Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.
2. 2
   Сумма периметров прямоугольников, расположенных по одной диагонали, равна сумме периметров прямоугольников по другой диагонали:$$2(a+c)+2(b+d)=2(b+c)+2(a+d)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 10 и 18. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. У верхних прямоугольников одинаковая высота, поэтому отношение их площадей равно отношению ширин. То же отношение имеют площади нижних прямоугольников.$$\frac{5}{10}=\frac{x}{18}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$x=\frac{5\cdot18}{10}=9$$

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 2, 3 и 18. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины левой и правой частей через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
2. 2
   Периметры трёх известных прямоугольников равны:$$2(a+c)=2,\quad 2(b+c)=3,\quad 2(b+d)=18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   По расположению бензоколонок на кольцевой дороге расстояние между Б и В равно разности расстояний от А до этих точек.$$BV = AB - AV$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$BV = 75 - 50 = 25$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 65 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 35 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Три дуги между А, В и Г образуют всю кольцевую дорогу, поэтому её длина равна:$$L = 50 + 35 + 45 = 130\ \text{км}$$
2. 2
   Расположим точки на кольцевой дороге в порядке А, В, Г. От точки А до точки В — 50 км, а до точки Б — 65 км в том же направлении.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 27 и 33. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь левого нижнего прямоугольника равна $x$. Для разбиения прямоугольника двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных частей равны.$$18 \cdot 33 = 27x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{18 \cdot 33}{27} = 22$$

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 20, 12 и 11. Найдите периметр…

1. 1
   При разбивке большого прямоугольника двумя прямолинейными разрезами общие стороны внутренних прямоугольников попарно компенсируются. Поэтому суммы периметров прямоугольников на противоположных позициях равны.$$P_{\text{лев. верх.}} + P_{\text{прав. ниж.}} = P_{\text{прав. верх.}} + P_{\text{лев. ниж.}}$$
2. 2
   Обозначим периметр четвёртого прямоугольника через $P$ и подставим известные значения.$$20 + 11 = 12 + P$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 30. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Произведения площадей противоположных прямоугольников равны:$$12 \cdot 30 = 15 \cdot x$$
2. 2
   Находим площадь неизвестного прямоугольника:$$x = \frac{12 \cdot 30}{15} = 24$$

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 10, 14 и 20. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площади частей прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 7, 14 и 22. Найдите площадь…

1. 1
   Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. При разбиении прямоугольника двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных частей равны.$$S_1S_3=S_2S_4$$
2. 2
   Подставим известные площади: площадь левого верхнего прямоугольника равна $7$, правого верхнего — $14$, правого нижнего — $22$.$$7\cdot22=14x$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,4 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м, а длина 5,2 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Найдём точную площадь комнаты как площадь прямоугольника:$$S = 3 \cdot 5{,}2 = 15{,}6\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько квадратных метров точная площадь отличается от указанной на плане:$$15{,}6 - 15{,}4 = 0{,}2\ \text{м}^2$$

Медиана и высота треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 40$, $AC = 84$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42$$
2. 2
   Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь оставшейся части участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 35 м и 20 м. Хозяин отгородил на участке квадратный вольер со стороной 10 м (см. рисунок). Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ…

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного участка:$$S_1 = 35 \cdot 20 = 700\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь квадратного вольера:$$S_2 = 10^2 = 100\ \text{м}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина забора вокруг участка

Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1000 м и 500 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно обнести…

1. 1
   Большая сторона длиной $1000$ м проходит вдоль моря, поэтому забор нужен на другой большой стороне и на двух коротких сторонах.
2. 2
   Складываем длины трёх сторон, которые нужно оградить:$$1000 + 500 + 500 = 2000$$

Сторона треугольника по углу

В треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите длину стороны $AB$, если $BC = 3\sqrt{3}$, $AC = 6\sqrt{3}$.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ в сумме дают $180^\circ$, поэтому внутренний угол равен $60^\circ$.$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   По теореме косинусов найдём квадрат стороны $AB$.$$AB^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 30. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 10 \cdot 18 = 180$$
2. 2
   Выразим высоту, опущенную на большую сторону длиной 30.$$h = \dfrac{S}{30} = \dfrac{180}{30} = 6$$

Разбиение глобуса линиями

На поверхности глобуса фломастером проведены 23 параллели и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Проведённые 23 параллели разделяют поверхность глобуса на 24 горизонтальные полосы: число полос на одну больше числа параллелей.$$23+1=24$$
2. 2
   Каждый из 15 меридианов проходит через все полосы и делит каждую из них на 15 частей.$$24\cdot 15=360$$

Биссектриса равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 20$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как углы $A$ и $C$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC = 20$. Тогда угол при вершине $B$ равен:$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде