ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 40$, площадь ромба равна $240$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Найдём вторую диагональ ромба по формуле площади:$$S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём $BD$:$$BD=\dfrac{2S}{AC}=\dfrac{2\cdot240}{40}=12$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Биссектриса в треугольнике

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 12$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.

1. 1
   Так как $BK$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABK = \angle KBC = 60^\circ$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, является также высотой, поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 51$, $\cos A = \dfrac{15}{17}$. Найдите длину стороны $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, прилежащим к углу $A$.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 51 \cdot \dfrac{15}{17} = 45$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Боковая сторона равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $15$, а $\tg A = \dfrac{15}{8}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
2. 2
   По определению тангенса угла $A$ найдём катет $AM$:$$\tg A = \frac{BM}{AM},\quad \frac{15}{8} = \frac{15}{AM},\quad AM = 8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $AOB$ равен $36^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $6$. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшая дуга соответствует центральному углу $36^\circ$, а вся окружность — углу $360^\circ$.$$L=6\cdot\frac{360^\circ}{36^\circ}=60$$
2. 2
   Большая дуга дополняет меньшую до длины всей окружности.$$L_{\text{большей}}=60-6=54$$

Косинус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 4$, $AC = \sqrt{7}$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \sqrt{9} = 3$$
2. 2
   Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$

Наименьшая средняя желі

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 21. Гипотенуза равна 29. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет.$$x^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$$
2. 2
   Получаем длину второго катета.$$x = 20$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 5 и 13, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны. Поэтому$$h = 10\sin 150^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$
2. 2
   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:$$S = \frac{5+13}{2}\cdot 5 = 45$$

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 88$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 44$$
2. 2
   Обозначим $AH = x$. Тогда $HM = AM - AH = 44 - x$, а $HC = AC - AH = 88 - x$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{21}{29}$. Гипотенуза $AB = 58$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катет $BC$ является прилежащим к углу $B$. По определению косинуса:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 58 \cdot \frac{21}{29} = 42$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол правильного десятиугольника

$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $HEJ$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол правильного десятиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
2. 2
   Угол $HEJ$ — вписанный. Он опирается на дугу $HJ$, не содержащую вершину $E$. Эта дуга состоит из двух сторон десятиугольника, поэтому её градусная мера равна:$$2\cdot36^\circ=72^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $33$, $\tg \angle CAD = \dfrac{2}{3}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 33$.$$AD = BC = 33$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{2}{3}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 19$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $A$, поэтому применяем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{19}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Находим сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{2}{1/2} = 4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 140^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $28$. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Градусная мера большей дуги равна разности между полной окружностью и меньшей дугой.$$360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$$
2. 2
   Длины дуг пропорциональны их градусным мерам.$$l_{\text{больш}} = 28 \cdot \frac{220}{140} = 44$$

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $40$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $BM$ делит угол $B$ пополам, угол $ABM$ равен $60^\circ$.$$\angle ABM = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Медиана, которая одновременно является биссектрисой, проведена к основанию равнобедренного треугольника и перпендикулярна основанию. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48 и 14. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба делятся пополам, поэтому их половины равны:$$\frac{48}{2}=24,\quad \frac{14}{2}=7$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Медиана и высота треугольника

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 59$. $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$:$$AM=MC=\dfrac{AC}{2}=29{,}5$$
2. 2
   Обозначим $AH=x$. Тогда $HC=59-x$, а $HM=AH-AM=x-29{,}5$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике одна из сторон равна 35, а диагональ равна 37. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону:$$b = \sqrt{37^2 - 35^2} = \sqrt{1369 - 1225} = \sqrt{144} = 12$$
2. 2
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:$$S = 35 \cdot 12 = 420$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 52$, $\sin A = \dfrac{5}{13}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике $AB = BC = 52$, а углы при основании равны: $A = C$.$$B = 180^\circ - 2A$$
2. 2
   По условию $\sin A = \dfrac{5}{13}$. Так как угол $A$ острый, $\cos A = \dfrac{12}{13}$.$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде