Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Количество строк таблицы

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 150, во втором — 131, а в третьем — 113. Сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$150 + 131 + 113 = 394$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 25 и меньшее 28, поэтому она может быть равна только 26 или 27.

Ещё 2 шага — в полном решении

Подъезд по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Нина, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Нина живёт в квартире № 77. В каком подъезде живёт Нина?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 5 = 45$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 45, а во втором — с номерами от 46 до 90. Квартира № 77 находится во втором подъезде.$$45 < 77 \leq 90$$

Обмен монет и делимость

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: — за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную; — за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Каждая операция даёт одну медную монету, поэтому$$x+y=45$$
2. 2
   Золотых монет вначале и в конце не было. При операциях первого типа тратится 4 золотые монеты, а при операциях второго типа получается 5 золотых монет, поэтому$$4x=5y$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Суммируем количество договоров, заключённых каждой из десяти стран:$$7 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = 35 + 21 = 56$$
2. 2
   При таком подсчёте каждый договор учтён дважды — по одному разу для каждой из двух стран.$$N = \dfrac{56}{2} = 28$$

Точки после девяти прыжков

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ в ту или другую сторону. После 9 прыжков возможные координаты лежат от $-9$ до $9$.
2. 2
   Так как число прыжков нечётное, координаты будут нечётными: $-9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Улитка на дереве

Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?

1. 1
   За каждый полный день с последующей ночью улитка преодолевает $4 - 1 = 3$ м.
2. 2
   После трёх таких циклов, то есть утром четвёртого дня, улитка находится на высоте $3 \cdot 3 = 9$ м.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Пусть число подъездов равно $a$, число квартир на этаже — $b$, а число этажей в подъезде — $c$. Тогда$$abc = 357, \quad 1 < a < b < c$$
2. 2
   Разложим общее число квартир на простые множители:$$357 = 3 \cdot 7 \cdot 17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $e$, число этажей в одном подъезде через $f$, а число квартир на этаже через $a$. Общее число квартир равно произведению этих величин:$$efa = 110$$
2. 2
   Разложим число 110 на простые множители:$$110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 102 печенья и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в…

1. 1
   Пусть Маша ест печенье со скоростью $v$, тогда Медведь ест печенье со скоростью $4v$. Обозначим время до обмена продуктами через $t_1$, а после обмена — через $t_2$.
2. 2
   За время $t_1$ Маша съела варенье со скоростью $u$, а за время $t_2$ Медведь съел варенье со скоростью $4u$. По условию варенья съедено поровну:$$ut_1=4ut_2$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Провода между столбами

Семь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими семью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество концов проводов: от каждого из семи столбов отходит по четыре провода.$$7 \cdot 4 = 28$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$28 : 2 = 14$$

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 124, во втором — 132, в третьем — 142, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$124+132+142=398$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, больше 27, но меньше 30. Следовательно, она может быть равна только 28 или 29.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество средних углов

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 2 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Обозначим наименьший угол через $x$. Тогда наибольший угол равен $2x$, а средний угол — $360 - 3x$.$$x + (360 - 3x) + 2x = 360$$
2. 2
   Средний угол должен быть больше наименьшего и меньше наибольшего:$$x < 360 - 3x < 2x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Оля, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Оля живёт в квартире № 98. В каком подъезде живёт Оля?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 6 = 54$$
2. 2
   Первый подъезд содержит квартиры с номерами от 1 до 54. Квартира № 98 находится во втором подъезде, так как 54 < 98 \leq 108.$$98 - 54 = 44$$

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Если разрезать…

1. 1
   При разрезе ленты в точке, находящейся на расстоянии $x$ от её середины, одна часть длиннее другой на $2x$.$$\Delta l = 2x$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{5}{2} = 2{,}5\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Обмен маленьких фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 6 больших фишек, отдав 9 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 79…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 9 фишек и получает 6, поэтому общее количество фишек уменьшается на 3.$$9 - 6 = 3$$
2. 2
   Обозначим число обменов через $x$. После $x$ обменов количество фишек составит 79.$$100 - 3x = 79$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если…

1. 1
   Если разрез проходит на расстоянии $x$ от середины ленты, разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины: $2x$.$$2x = d$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}} = \frac{35}{2} = 17{,}5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Позиции кузнечика после прыжков

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или $-1$. После 11 прыжков координата может принимать значения от $-11$ до $11$.
2. 2
   Так как число прыжков нечётное, конечная координата должна быть нечётной. Получаем последовательность $-11,-9,-7,\ldots,9,11$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если…

1. 1
   При разрезе на расстоянии $x$ от середины разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины.$$2x$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{30}{2} = 15\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Квартира и номер этажа

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по пять квартир. Петя живёт в квартире № 49. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На каждом этаже расположено 5 квартир. Определим, в какую группу из пяти квартир попадает квартира № 49.$$\left\lceil \dfrac{49}{5} \right\rceil = 10$$
2. 2
   Первые 45 квартир занимают 9 этажей, поэтому квартира № 49 находится на 10-м этаже.$$9 \cdot 5 < 49 \leqslant 10 \cdot 5$$

Этажи и квартиры в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $p$, число квартир на этаже через $k$, а число этажей в подъезде через $h$. Тогда общее число квартир равно произведению этих чисел:$$p \cdot k \cdot h = 114$$
2. 2
   Разложим 114 на простые множители:$$114 = 2 \cdot 3 \cdot 19$$

Ещё 2 шага — в полном решении