В фирме работает 100 человек, из них 70 человек знают португальский язык, а 50 — французский. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим через $P$ множество работников, знающих португальский язык, а через $F$ — множество работников, знающих французский язык.
- 2
Минимальное возможное число людей, знающих оба языка, равно сумме численностей множеств за вычетом общего числа работников:$$|P \cap F| \geq |P| + |F| - 100 = 70 + 50 - 100 = 20$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Некоторые сотрудники фирмы летом 2025 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче. Выберите все утверждения, которые верны при…
- 1
Исходное условие означает: если сотрудник не отдыхал на море, то он отдыхал на даче.$$\neg M \Rightarrow D$$
- 2
По закону контрапозиции из этого следует: если сотрудник не отдыхал на даче, то он отдыхал на море.$$\neg D \Rightarrow M$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Совершая покупки, владелец дисконтной карты накапливает баллы. Когда сумма баллов достигает установленного лимита, он получает постоянную скидку. Определите, какие утверждения верны при приведённом…
- 1
По условию, когда сумма баллов достигает установленного лимита, владелец карты получает постоянную скидку. Поэтому наличие постоянной скидки означает, что лимит достигнут.
- 2
Если скидки нет, то условие её получения не выполнено: установленный лимит ещё не достигнут. Это верно и для владельца карты, у которого пока нет скидки.
Ещё 2 шага — в полном решении
На столе стоит 20 кружек с чаем. В шести из них чай с сахаром, а в остальных — без сахара. В четыре из этих 20 кружек официант положил по дольке лимона. Выберите все утверждения, которые верны при…
- 1
Кружек с чаем без сахара: $20 - 6 = 14$.
- 2
С лимоном могут быть не более 4 кружек. Поэтому кружек одновременно без сахара и без лимона будет не менее $14 - 4 = 10$. Значит, утверждение 1 верно.
Ещё 3 шага — в полном решении
Некоторые сотрудники фирмы летом 2013 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче. Выберите все утверждения, которые верны при…
- 1
Обозначим через $D$ утверждение «сотрудник отдыхал на даче», а через $M$ — «сотрудник отдыхал на море». Исходное условие имеет вид $\neg M \Rightarrow D$.$$\neg M \Rightarrow D$$
- 2
По закону противопоставления из $\neg M \Rightarrow D$ следует $\neg D \Rightarrow M$. Поэтому утверждение 3 верно.$$\neg D \Rightarrow M$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В компании из 20 человек 15 пользуются социальной сетью «Одноклассники», а 10 — социальной сетью «ВКонтакте». Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Пусть $x$ человек пользуются обеими социальными сетями. Так как всего в компании 20 человек, число пользователей хотя бы одной сетью не превышает 20.
- 2
Отсюда получаем нижнюю границу для числа людей, пользующихся обеими сетями.
Ещё 3 шага — в полном решении
Кондитер испёк 40 печений: 10 штук посыпал корицей, а 20 штук — сахаром. Одно печенье может быть посыпано и корицей, и сахаром, а может быть не посыпано ничем. Выберите все утверждения, которые…
- 1
Обозначим через $C$ множество печений, посыпанных корицей, а через $S$ — множество печений, посыпанных сахаром. Тогда $|C|=10$, $|S|=20$.
- 2
Число печений, посыпанных одновременно сахаром и корицей, не может превышать количество печений в меньшей группе:$$|C \cap S| \leq \min(10,20)=10$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В таблице даны результаты олимпиад по математике и обществознанию в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 150 или хотя бы по одному…
- 1
Выбираем учащихся, набравших меньше 80 баллов по математике: это ученики 1, 3, 4, 5, 6, 7 и 9.
- 2
Проверяем условие для ученика 1: сумма баллов равна 112, ни один балл не достигает 80. Грамота не положена.
Ещё 4 шага — в полном решении
В фирме работает 50 сотрудников, из них 40 человек знают английский язык, а 20 — немецкий. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим через $A$ множество сотрудников, знающих английский язык, а через $B$ — немецкий. Тогда $|A| = 40$, $|B| = 20$, а $|A \cup B| \leq 50$.
- 2
Минимально возможное число сотрудников, знающих оба языка, равно$$|A \cap B| \geq 40 + 20 - 50 = 10$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Повар испёк для вечеринки 45 кексов, из них 15 кексов он посыпал кокосовой стружкой, а 25 кексов посыпал сахарной пудрой. Повар может посыпать один кекс и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой, а…
- 1
Пусть $A$ — множество кексов с кокосовой стружкой, а $B$ — множество кексов с сахарной пудрой. Тогда $|A|=15$, $|B|=25$, всего 45 кексов.$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$
- 2
Число кексов с обеими посыпками не может превышать число кексов с кокосовой стружкой: $|A \cap B| \leq 15$. Поэтому 16 таких кексов быть не может.$$|A \cap B| \leq \min(15,25)=15$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Тане на день рождения подарили 15 шариков, 8 из которых жёлтые, а остальные зелёные. Таня на трёх случайных шариках нарисовала рисунки маркером, чтобы подарить маме, папе и брату. Выберите все…
- 1
Зелёных шариков $15 - 8 = 7$. Даже если все три рисунка нанесены на зелёные шарики, зелёных шариков без рисунков останется $7 - 3 = 4$, то есть найдутся 2 таких шарика.$$7 - 3 = 4 \geq 2$$
- 2
Рисунков всего 3, поэтому 5 жёлтых шариков с рисунками быть не может.$$3 < 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Оле на день рождения подарили 20 воздушных шариков, из которых 13 — красные, а остальные — синие. Она хочет на трёх случайных шариках нарисовать маркером рисунки, чтобы подарить маме, папе и сестре…
- 1
Синих шариков $20 - 13 = 7$, а рисунки можно сделать только на трёх шариках.
- 2
Максимально возможное число синих шариков с рисунками равно 3, поэтому 5 синих шариков с рисунками быть не может. Утверждение 4 верно.
Ещё 2 шага — в полном решении
Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, пёс Шарик, живущий в будке возле дома, обязательно лает. Выберите все утверждения, которые верны при приведённом условии.
- 1
Обозначим: $A$ — кошка идёт по забору, $B$ — Шарик лает. По условию верно $A \Rightarrow B$.
- 2
Утверждение 1 является противоположным по смыслу следствием: из $A \Rightarrow B$ следует $\neg B \Rightarrow \neg A$. Поэтому оно верно.
Ещё 3 шага — в полном решении
В таблице даны результаты олимпиад по русскому языку и биологии в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают школьникам, у которых суммарный балл по двум олимпиадам больше 140 или хотя бы по одному…
- 1
Рассмотрим учеников, набравших меньше 75 баллов по русскому языку: 1, 3, 6, 7 и 9.
- 2
Ученик 1 получает грамоту, так как сумма баллов больше 140: $70+92=162$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В классе учится 28 человек, из них 20 человек посещают кружок по биологии, а 16 — кружок по географии.
- 1
Обозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок по биологии, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок по географии.
- 2
Минимальное возможное число учеников, посещающих оба кружка, найдём по формуле включений и исключений:$$|A \cap B| \geq |A| + |B| - 28 = 20 + 16 - 28 = 8$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На соревнованиях сборная Канады завоевала медалей больше, чем сборная Нидерландов, сборная Бельгии — меньше, чем сборная Нидерландов, а сборная Швейцарии — меньше, чем сборная Канады. Выберите все…
- 1
Обозначим количество медалей у сборных. Из условия получаем: у Канады медалей больше, чем у Нидерландов; у Бельгии меньше, чем у Нидерландов; у Швейцарии меньше, чем у Канады.$$K > N > B,\quad K > S$$
- 2
Так как Канада завоевала больше медалей, чем Нидерланды, а Нидерланды — больше, чем Бельгия, Канада завоевала больше медалей, чем Бельгия.$$K > N > B \Rightarrow K > B$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Во дворе школы растёт всего три дерева: ясень, берёза и осина. Ясень ниже берёзы на 1 метр, но выше осины на 2 метра. Определите, какие из предложенных утверждений верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим высоту ясеня через $h$. Тогда высота берёзы на 1 метр больше, а высота осины на 2 метра меньше.$$h_{\text{берёзы}}=h+1,\quad h_{\text{осины}}=h-2$$
- 2
Следовательно, деревья расположены по высоте так: берёза, ясень, осина.$$h_{\text{берёзы}}>h_{\text{ясеня}}>h_{\text{осины}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В таблице даны результаты олимпиад по русскому языку и биологии в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 110 или хотя бы по одному…
- 1
Баллы по русскому языку меньше 60 имеют ученики 1, 2, 3, 7, 8 и 9.
- 2
Проверим условие получения грамоты. У ученика 2 по биологии 85 баллов, у ученика 7 — 64 балла, у ученика 8 — 65 баллов. Во всех трёх случаях хотя бы по одному предмету набрано не меньше 60 баллов.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Школа приобрела стол, доску, компьютер и принтер. Известно, что принтер дороже компьютера, а доска дешевле компьютера и дешевле стола. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим цены доски, компьютера, принтера и стола соответственно через $d$, $c$, $p$ и $s$. По условию:$$p>c>d,\quad s>d$$
- 2
Так как $p>c$ и $c>d$, то принтер дороже доски. Утверждение 2 верно.$$p>d$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Маша младше Алисы на год, но старше Кати на два года. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Так как Маша старше Кати на два года, Катя младше Маши.
- 2
Так как Маша младше Алисы на один год, Алиса старше Маши.
Ещё 4 шага — в полном решении